Prove que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a identidade
Informações dadas (implícitas):
e
são campos vetoriais suficientemente suaves (diferenciáveis) e
é o operador gradiente com componentes parciais
. A demonstração será feita componente a componente (notação índice) usando a regra do produto e a representação do produto vetorial com o símbolo de Levi-Civita.
Passo 2
Configurar notação de componentes e a regra do produto. Denotar as componentes por
,
. Usar a convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados. O
-ésimo componente do lado esquerdo é
onde
. Aplicando a regra do produto (derivada de um produto)
Esta expressão será o alvo a ser obtido no lado direito, componente a componente.
Passo 3
Escrever as componentes de cada termo do lado direito. Para um índice fixo
:
-
tem componente
-
tem componente
- Para o produto vetorial usa-se o símbolo de Levi-Civita
. O -ésimo componente de é
E a componente do rotacional é
Portanto, substituindo,
Passo 4
Usar a identidade de contração de Levi-Civita
onde
é o delta de Kronecker. Aplicando essa identidade à expressão do passo anterior:
Agora avaliar os termos com os deltas, lembrando que deltas identificam índices:
Subtraindo conforme a identidade, obtemos
Passo 5
Fazer a mesma conta para
. Analogamente,
Passo 6
Somar todas as componentes do lado direito. O
-ésimo componente do lado direito completo é
Agora observe que os termos
e
se cancelam (índices dummy representam a mesma soma), e o mesmo acontece para os termos com
. Restam apenas
Mas esta última expressão é exatamente a componente
encontrada no Passo 2. Portanto, para cada
vale
Passo 7
Concluir que, como as componentes coincidem para todo
, as duas expressões vetoriais são iguais. Assim a identidade está provada. Dica prática para a prova: use sempre notação por componentes + regra do produto e a identidade de contração de Levi-Civita; é um caminho direto e mecânico que evita esquecer sinais.