Prove que \vec{\nabla}(\vec{A} \cdot \vec{B})=(\vec{A} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}+\vec{A} \times(\vec{\nabla} \times \vec{B})+(\vec{B} \cdot \vec{\nabla}) \vec{A}+\vec{B} \times(\vec{\nabla} \times \vec{A}).

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a identidade
\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})=(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}+\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})+(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}+\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}).
Informações dadas (implícitas): \vec{A}(\vec{x}) e \vec{B}(\vec{x}) são campos vetoriais suficientemente suaves (diferenciáveis) e \vec{\nabla} é o operador gradiente com componentes parciais \partial_j=\partial/\partial x_j. A demonstração será feita componente a componente (notação índice) usando a regra do produto e a representação do produto vetorial com o símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Configurar notação de componentes e a regra do produto. Denotar as componentes por \vec{A}=(A_1,A_2,A_3), \vec{B}=(B_1,B_2,B_3). Usar a convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados. O j-ésimo componente do lado esquerdo é
\bigl[\vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})\bigr]_j=\partial_j\bigl(A_k B_k\bigr),
onde \partial_j=\dfrac{\partial}{\partial x_j}. Aplicando a regra do produto (derivada de um produto)
\partial_j\bigl(A_k B_k\bigr)=A_k\,\partial_j B_k + B_k\,\partial_j A_k.
Esta expressão será o alvo a ser obtido no lado direito, componente a componente.

Passo 3

Escrever as componentes de cada termo do lado direito. Para um índice fixo j:
  • (\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} tem componente
\bigl[(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\bigr]_j = A_k\,\partial_k B_j.
  • (\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A} tem componente
\bigl[(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\bigr]_j = B_k\,\partial_k A_j.
  • Para o produto vetorial usa-se o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{ijk}. O j-ésimo componente de \vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}) é
\bigl[\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\bigr]_j = \epsilon_{jmn}\,A_m\,(\vec{\nabla}\times\vec{B})_n.
E a componente do rotacional é
(\vec{\nabla}\times\vec{B})_n = \epsilon_{npq}\,\partial_p B_q.
Portanto, substituindo,
\bigl[\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\bigr]_j = \epsilon_{jmn}\,A_m\,\epsilon_{npq}\,\partial_p B_q.

Passo 4

Usar a identidade de contração de Levi-Civita
\epsilon_{jmn}\,\epsilon_{npq} = \delta_{jp}\,\delta_{mq} - \delta_{jq}\,\delta_{mp},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Aplicando essa identidade à expressão do passo anterior:
\bigl[\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\bigr]_j = (\delta_{jp}\,\delta_{mq}-\delta_{jq}\,\delta_{mp})\,A_m\,\partial_p B_q.
Agora avaliar os termos com os deltas, lembrando que deltas identificam índices:
\begin{aligned} (\delta_{jp}\,\delta_{mq})\,A_m\,\partial_p B_q &= A_m\,\partial_j B_m = A_q\,\partial_j B_q,\\[4pt] (\delta_{jq}\,\delta_{mp})\,A_m\,\partial_p B_q &= A_p\,\partial_p B_j = A_p\,\partial_p B_j. \end{aligned}
Subtraindo conforme a identidade, obtemos
\bigl[\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\bigr]_j = A_q\,\partial_j B_q - A_p\,\partial_p B_j.]

Passo 5

Fazer a mesma conta para \vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}). Analogamente,
\bigl[\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})\bigr]_j = B_q\,\partial_j A_q - B_p\,\partial_p A_j.

Passo 6

Somar todas as componentes do lado direito. O j-ésimo componente do lado direito completo é
\begin{aligned} &\bigl[(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\bigr]_j +\bigl[\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})\bigr]_j +\bigl[(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}\bigr]_j +\bigl[\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})\bigr]_j\\[4pt] &\quad= A_k\,\partial_k B_j + \bigl(A_q\,\partial_j B_q - A_p\,\partial_p B_j\bigr) + B_k\,\partial_k A_j + \bigl(B_q\,\partial_j A_q - B_p\,\partial_p A_j\bigr). \end{aligned}
Agora observe que os termos A_k\,\partial_k B_j e -A_p\,\partial_p B_j se cancelam (índices dummy representam a mesma soma), e o mesmo acontece para os termos com B. Restam apenas
A_q\,\partial_j B_q + B_q\,\partial_j A_q = A_k\,\partial_j B_k + B_k\,\partial_j A_k.
Mas esta última expressão é exatamente a componente \partial_j(A_k B_k) encontrada no Passo 2. Portanto, para cada j vale
\partial_j\bigl(A_k B_k\bigr) = \bigl[(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}+\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B}) +(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}+\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})\bigr]_j.]

Passo 7

Concluir que, como as componentes coincidem para todo j=1,2,3, as duas expressões vetoriais são iguais. Assim a identidade está provada. Dica prática para a prova: use sempre notação por componentes + regra do produto e a identidade de contração de Levi-Civita; é um caminho direto e mecânico que evita esquecer sinais.

Resposta

\displaystyle \vec{\nabla}(\vec{A}\cdot\vec{B})=(\vec{A}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}+\vec{A}\times(\vec{\nabla}\times\vec{B})+(\vec{B}\cdot\vec{\nabla})\vec{A}+\vec{B}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A})

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