Os vectores u=(3,-2,1) e v=(1,-3,5) constituem os lados de um triângulo retângulo? Qual a área do triângulo?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \,u=(3,-2,1) e \,v=(1,-3,5) e pergunta: (a) se eles formam um triângulo retângulo quando usados como lados consecutivos; (b) qual é a área desse triângulo. Para isso vamos usar (i) o produto escalar para testar perpendicularidade e (ii) o produto vetorial para achar a área do paralelogramo gerado e, em seguida, a área do triângulo.

Passo 2

Para verificar se o triângulo é retângulo, calculamos o produto escalar
u\cdot v = 3\cdot1 + (-2)\cdot(-3) + 1\cdot5 = 3 + 6 + 5 = 14.
Como \,u\cdot v \neq 0, os vetores não são perpendiculares e, portanto, não formam um triângulo retângulo.

Passo 3

Para determinar a área do triângulo, primeiro achamos o produto vetorial
u \times v =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & -2 & 1\\\\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} =\bigl(-7,\,-14,\,-7\bigr).

Passo 4

A área do paralelogramo formado por u e v é \|\,u\times v\|. Calculando a norma,
\|u\times v\| =\sqrt{(-7)^2+(-14)^2+(-7)^2} =\sqrt{49+196+49} =\sqrt{294} =7\sqrt{6}.
Como o triângulo corresponde à metade desse paralelogramo, sua área é
\frac{1}{2}\,\|u\times v\| =\frac{1}{2}\times7\sqrt{6} =\frac{7}{2}\,\sqrt{6}.

Resposta

Eles não formam um triângulo retângulo e a área do triângulo é \frac{7}{2}\sqrt{6}.

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