A velocidade
na qual
são percorridos é dada em função do tempo
por
. Descreva os conjuntos domínio e Imagem de
, calcule
e
, justificando seu significado, e esboce o gráfico correspondente. A velocidade é uma função crescente ou decrescente do tempo
?
Passo 1
O enunciado diz que, para percorrer uma distância fixa de 50 km em um tempo
(em horas), a velocidade média é dada por
O que precisamos fazer:
- Determinar o conjunto domínio de
. - Determinar o conjunto imagem de
. - Calcular
e , explicando o que esses valores significam. - Esboçar o gráfico de
. - Dizer se
é crescente ou decrescente em função de .
Passo 2
Para achar o domínio, note que
exige que o denominador seja diferente de zero e que o tempo seja positivo (não faz sentido físico
). Logo o domínio é
Passo 3
Para a imagem, observe que, quando
varia em
, o quociente
assume todos os valores positivos:
- Se
, . - Se
, .
Portanto a imagem é
Passo 4
Vamos calcular os valores pedidos:
Isto significa que, se você gastar
h para percorrer
km, sua velocidade média foi
km/h.
Aqui, gastar
h para os mesmos
km corresponde a uma velocidade média de aproximadamente
km/h.
Passo 5
O gráfico de
Esboço qualitativo:
(0,∞) no eixo horizontal
; curva suave que cai de
quando
é pequeno até próximo de 0 quando
cresce.
Passo 6
Para ver a monotonicidade, derivamos:
Como
, temos
em todo
. Logo
é estritamente decrescente.
Resposta
Domínio:
Imagem: km/h,
km/h
Gráfico: hipérbole decrescente com assíntotas nos eixos
Monotonicidade: é decrescente em função de
.
Imagem:
Gráfico: hipérbole decrescente com assíntotas nos eixos
Monotonicidade: