A velocidade v na qual 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} são percorridos é dada em função do tempo t por v(t)=\frac{50}{t}. Descreva os conjuntos domínio e Imagem de v, calcule v(5) e v(7,5), justificando seu significado, e esboce o gráfico correspondente. A velocidade é uma função crescente ou decrescente do tempo t ?

Passo 1

O enunciado diz que, para percorrer uma distância fixa de 50 km em um tempo t (em horas), a velocidade média é dada por
v(t)=\frac{50}{t}.
O que precisamos fazer:
  • Determinar o conjunto domínio de v.
  • Determinar o conjunto imagem de v.
  • Calcular v(5) e v(7,5), explicando o que esses valores significam.
  • Esboçar o gráfico de v(t).
  • Dizer se v é crescente ou decrescente em função de t.

Passo 2

Para achar o domínio, note que v(t)=50/t exige que o denominador seja diferente de zero e que o tempo seja positivo (não faz sentido físico t\le0). Logo o domínio é
\{\,t\in\mathbb{R}\mid t>0\}=(0,\infty).

Passo 3

Para a imagem, observe que, quando t varia em (0,\infty), o quociente 50/t assume todos os valores positivos:
  • Se t\to0^+, v(t)\to+\infty.
  • Se t\to+\infty, v(t)\to0^+.
    Portanto a imagem é
(0,\infty).

Passo 4

Vamos calcular os valores pedidos:
v(5)=\frac{50}{5}=10.
Isto significa que, se você gastar 5 h para percorrer 50 km, sua velocidade média foi 10 km/h.
v(7,5)=\frac{50}{7,5}=\frac{50}{7{,}5}\approx6{,}67.
Aqui, gastar 7,5 h para os mesmos 50 km corresponde a uma velocidade média de aproximadamente 6{,}67 km/h.

Passo 5

O gráfico de v(t)=50/t\) para \(t>0\) é uma hipérbole decrescente, com assíntotas nos eixos: \[\begin{cases} t\to0^+ &\implies v(t)\to+\infty,\\\ t\to+\infty &\implies v(t)\to0^+. \end{cases}
Esboço qualitativo:
(0,∞) no eixo horizontal t\] e (0,∞) no eixo vertical \(v; curva suave que cai de +\infty quando t é pequeno até próximo de 0 quando t cresce.

Passo 6

Para ver a monotonicidade, derivamos:
v'(t)=-\frac{50}{t^2}.
Como t^2>0, temos v'(t)<0 em todo (0,\infty). Logo v é estritamente decrescente.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Imagem: (0,\infty) v(5)=10 km/h, v(7,5)\approx6{,}67 km/h
Gráfico: hipérbole decrescente com assíntotas nos eixos
Monotonicidade: v é decrescente em função de t.

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