Qual a velocidade de afastamento de uma galáxia que está a oito bilhões de anos-luz de distância?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • O enunciado nos dá a distância da galáxia: \,8 bilhões de anos-luz, isto é \,d = 8\times10^{9}\\ \text{anos-luz}.
  • O enunciado pede a velocidade de afastamento dessa galáxia (a velocidade de recessão).
É tudo o que temos: a distância em anos-luz e o pedido da velocidade de afastamento.

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação didática do conceito básico que aplicaremos).
  • Existe uma lei muito usada para relacionar velocidade de afastamento e distância: a lei de Hubble, que, em sua forma linear simples, é
v = H_0\, d,
onde:
  • v é a velocidade de recessão (unidades: \mathrm{km\,s^{-1}}),
  • H_0 é a constante de Hubble (unidades: \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}),
  • d é a distância até a galáxia, medida em megaparsecs (Mpc).
  • Explicando com calma: a lei diz que, em média, quanto mais longe uma galáxia está, maior é sua velocidade aparente de afastamento — é proporcional à distância. Para aplicar a fórmula precisamos:
    1. escolher um valor para H_0,
    2. converter a distância dada em anos-luz para megaparsecs,
    3. multiplicar H_0 por d.
  • Sobre a escolha de H_0: há medidas ligeiramente diferentes na literatura (por ex. H_0\approx67{,}4 ou H_0\approx73{,}0\\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}), mas para cálculo aproximado e didático costuma-se usar H_0 \approx 70\\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}. Vou usar esse valor por ser simples e didático; o resultado muda pouco se outro valor razoável for usado.

Passo 3

Conversão de distância: transformar \,d = 8\times10^{9}\\ \text{anos-luz} em megaparsecs ( \mathrm{Mpc}).
  • Lembrete das conversões:
    • 1\\ \text{parsec (pc)} \approx 3{,}26156\\ \text{anos-luz}.
    • 1\\ \mathrm{Mpc} = 10^{6}\\ \mathrm{pc}.
    • Portanto
    1\\ \mathrm{Mpc} \approx 3{,}26156\times10^{6}\\ \text{anos-luz}.
  • Convertemos:
    d_{\mathrm{Mpc}}=\frac{8\times10^{9}\\ \text{anos-luz}}{3{,}26156\times10^{6}\\ \text{anos-luz/ Mpc}} =\frac{8\times10^{9}}{3{,}26156\times10^{6}}\\ \mathrm{Mpc}.
  • Calculando o quociente (faça essa conta passo a passo na prova):
    d_{\mathrm{Mpc}}=\left(\frac{8}{3{,}26156}\right)\times10^{3}\\ \mathrm{Mpc} \approx 2{,}4537\times10^{3}\\ \mathrm{Mpc}.
    Ou seja
    d_{\mathrm{Mpc}}\approx 2{,}454\times10^{3}\\ \mathrm{Mpc}=2454\\ \mathrm{Mpc}
    (arredondei para três algarismos significativos).

Passo 4

Aplicar a lei de Hubble para obter a velocidade.
  • Usando H_0=70\\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}} e d\approx2454\\ \mathrm{Mpc},
    v = H_0\, d = 70\\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}\times2454\\ \mathrm{Mpc}.
  • Multiplicando:
    v \approx 70\times2454\\ \mathrm{km\,s^{-1}} \approx 171759\\ \mathrm{km\,s^{-1}}.
    Para escrita mais compacta em potências de dez:
    v \approx 1{,}72\times10^{5}\\ \mathrm{km\,s^{-1}}.

Passo 5

Interpretação prática e comparação com a velocidade da luz.
  • A velocidade da luz é \,c\approx299792\\ \mathrm{km\,s^{-1}}. Podemos dar a velocidade de recessão em fração de c:
    \frac{v}{c}\approx\frac{171759}{299792}\approx0{,}573.
    Ou seja, a galáxia estaria se afastando a cerca de 57{,}3\% da velocidade da luz.
  • Observação importante (didática): a forma linear v=H_0 d é uma aproximação que funciona bem para distâncias relativamente pequenas (pequenos desvios redshift). Para distâncias cosmológicas muito grandes, a relação entre distância, velocidade aparente e redshift envolve a expansão do espaço e deve-se usar fórmulas relativísticas/cosmológicas mais completas. Mesmo assim, para um cálculo aproximado e rápido, o procedimento acima é o que se usa em exercícios básicos.

Resposta

v \approx 1{,}72\times10^{5}\\ \mathrm{km\,s^{-1}}
v \approx 0{,}573\,c

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