Duas peças de madeira de seção transversal retangular uniforme de lados a=100 \mathrm{~mm} e b=60 \mathrm{~mm} são simplesmente coladas uma à outra, como mostrado. Sabendo-se que as tensões últimas para a cole \sigma_{U}=1,26 \mathrm{MPa} à tração e \tau_{U}=1,50 \mathrm{MPa} ao cisalhamento, e sendo P=6 \mathrm{kN}, determine o coeficiente de segurança para a junta, quando:
\alpha=35^{\circ};

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Lados da seção transversal: a=100\\ \mathrm{mm} e b=60\\ \mathrm{mm}.
  • Resistências últimas da cola: \sigma_{U}=1{,}26\\ \mathrm{MPa} (tração) e \tau_{U}=1{,}50\\ \mathrm{MPa} (cisalhamento).
  • Carga aplicada: P=6\\ \mathrm{kN}.
  • Ângulo pedido: \alpha=35^\circ.
O enunciado diz “como mostrado” e, portanto, depende de uma figura que não foi enviada. Sem a figura não é possível ter certeza de como a junta está orientada em relação a P (por exemplo: qual é a área efetiva de cola, se P está medido em relação ao plano da junta ou em relação à normal, existência de excentricidade/peeling, etc.). Por isso não dá para garantir um único valor correto do coeficiente de segurança sem essa informação.
No entanto, para que você aprenda e consiga aplicar no exame, a seguir vou:
  1. explicar a abordagem padrão (parte didática),
  2. apresentar a resolução passo a passo assumindo a hipótese mais comum (junta colada por toda a face rectangular a\times b e \alpha sendo o ângulo entre P e o plano da junta), e
  3. mostrar o resultado numérico obtido sob essa suposição. Vou deixar explícito que isso é uma hipótese — se a figura for diferente, o resultado muda.

Passo 2

Definição da hipótese usada (expliquei porque é uma hipótese): assumir que a cola cobre toda a face de contato com área
A = a\cdot b.
Também assumir que \alpha é o ângulo entre a linha de ação de P e o plano da junta (isto é, ao aproximar a junta, a componente perpendicular à junta é P\sin\alpha e a componente paralela é P\cos\alpha). Essas são hipóteses standard em exercícios desse tipo quando não há figura.
Explicando a física por trás (aula curta):
  • Quando uma força \,P\, faz um ângulo \alpha com um plano, suas componentes relativas a esse plano são:
    • componente normal (perpendicular ao plano): \,P_n = P\sin\alpha\,;
    • componente tangencial (paralela ao plano, causa cisalhamento): \,P_s = P\cos\alpha.
  • Se a distribuição de tensão na cola for aproximadamente uniforme (sem concentração, sem excentricidade), as tensões médias na cola são:
    • tensão normal média (tração/compressão): \displaystyle \sigma = \frac{P_n}{A};
    • tensão de cisalhamento média: \displaystyle \tau = \frac{P_s}{A}.
  • Para verificar segurança da junta, uma verificação conservadora e comumente usada é checar separadamente ambos os modos e tomar o menor coeficiente de segurança: n_\text{global}=\min\!\left(\frac{\sigma_{U}}{\sigma},\,\frac{\tau_{U}}{\tau}\right).Isso significa: a junta falhará pelo modo que tiver menor margem em relação à resistência última.

Passo 3

Calcular a área de contato (pela hipótese):
A = a\cdot b = 100\\ \mathrm{mm}\times 60\\ \mathrm{mm}=6000\\ \mathrm{mm}^2.
Observação de unidades: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2. Vou trabalhar com N e mm para que as tensões já saiam em \mathrm{MPa} (ou N/mm^2).
Converter P:
P=6\\ \mathrm{kN}=6000\\ \mathrm{N}.
Decompor P nas componentes normal e tangencial à junta:
P_n = P\sin\alpha,\qquad P_s = P\cos\alpha.
Substituindo \alpha=35^\circ e calculando (usando as razões trigonométricas):
\sin35^\circ\approx 0{,}573576,\qquad \cos35^\circ\approx 0{,}819152.
P_n = 6000\cdot 0{,}573576 \approx 3441{,}46\\ \mathrm{N}, \qquad P_s = 6000\cdot 0{,}819152 \approx 4914{,}91\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular as tensões médias na cola dividindo pelas área A:
\sigma = \frac{P_n}{A}=\frac{3441{,}46}{6000}\\ \mathrm{N/mm^2}\approx 0{,}573576\\ \mathrm{MPa},
\tau = \frac{P_s}{A}=\frac{4914{,}91}{6000}\\ \mathrm{N/mm^2}\approx 0{,}819152\\ \mathrm{MPa}.
Breve explicação: como A está em \mathrm{mm}^2 e P em N, o quociente já dá \mathrm{N/mm}^2 que é \mathrm{MPa}. Não esquecer essa consistência de unidades na prova.

Passo 5

Calcular os coeficientes de segurança parciais (modo a modo):
n_{\sigma}=\frac{\sigma_{U}}{\sigma}=\frac{1{,}26}{0{,}573576}\approx 2{,}20,
n_{\tau}=\frac{\tau_{U}}{\tau}=\frac{1{,}50}{0{,}819152}\approx 1{,}83.
Interpretação: a segurança contra cisalhamento é menor, portanto é essa que controla a falha.

Passo 6

Coeficiente de segurança global (critério conservador usado aqui):
n_\text{global}=\min(n_{\sigma},\,n_{\tau})=1{,}83\\ (\text{aprox.}).
Observações finais didáticas e práticas:
  • Eu usei o critério conservador de verificar separadamente tensão normal e cisalhamento e tomar o menor fator. Em alguns projetos usa-se também uma interação entre \sigma e \tau (por exemplo fórmulas quadráticas do tipo \bigl(\sigma/\sigma_U\bigr)^2+\bigl(\tau/\tau_U\bigr)^2\le 1) — isso dá um resultado diferente (normalmente menos conservador). Se precisar, posso calcular com outro critério.
  • Se a figura mostrar que a área de cola não é a\times b, ou que \alpha é medido de forma diferente, ou houver excentricidade/peeling, então os valores numéricos mudam bastante. Por isso é importante ter a figura.

Resposta

n=1{,}83 (assumindo que a cola cobre toda a área A=a\cdot b e que \alpha é o ângulo entre P e o plano da junta).

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