Duas peças de madeira de seção transversal retangular uniforme de lados a=100 \mathrm{~mm} e b=60 \mathrm{~mm} são simplesmente coladas uma à outra, como mostrado. Sabendo-se que as tensões últimas para a cole \sigma_{U}=1,26 \mathrm{MPa} à tração e \tau_{U}=1,50 \mathrm{MPa} ao cisalhamento, e sendo P=6 \mathrm{kN}, determine o coeficiente de segurança para a junta, quando:
\alpha=20^{\circ};

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (já pegando tudo do texto que você enviou):
  • Lados da seção retangular: a=100\\ \mathrm{mm} e b=60\\ \mathrm{mm}.
  • Tensões últimas da cola: \sigma_{U}=1{,}26\\ \mathrm{MPa} (tração) e \tau_{U}=1{,}50\\ \mathrm{MPa} (cisalhamento).
  • Força aplicada: P=6\\ \mathrm{kN}.
  • Ângulo pedido: \alpha=20^\circ.
O que o problema pede: determinar o coeficiente de segurança para a junta quando \alpha=20^\circ.

Passo 2

Informação essencial que NÃO foi fornecida (e que é necessária para obter um valor numérico definitivo):
  • A geometria exata da junta adesiva (ou seja, qual é a área efetiva da cola sobre a qual P atua). Exemplos de dados que podem faltar: comprimento de sobreposição, se a cola faz contato pela face a\times b inteira ou apenas por uma faixa de largura diferente, etc.
  • A orientação exata da força P em relação à superfície da cola (o enunciado diz “como mostrado”, então a figura é necessária para confirmar exatamente qual face está colada e como o ângulo \alpha é medido).
Sem essa figura/detalhe não há como calcular numericamente a tensão na cola (porque falta a área A da junta). Portanto não é possível dar a resposta numérica final solicitada apenas com os dados textuais fornecidos.

Passo 3

Vou explicar didaticamente o método padrão para resolver esse tipo de problema assim que a área da cola A for conhecida. Assim, quando você me enviar a figura ou confirmar a área, consegue aplicar imediatamente os passos que vou mostrar aqui.
  1. Decomposição da força na direção normal e tangencial à superfície da cola.
    Se a superfície da cola está inclinada de modo que o ângulo entre a direção da força P e o plano da cola é \alpha, então os componentes da força sobre a superfície são:
N = P\sin\alpha \quad\text{(componente normal à superfície)}àí
V = P\cos\alpha \quad\text{(componente de cisalhamento ao longo da superfície)}í
Explicação curta: quando \alpha=0^\circ (força paralela ao plano) então N=0 e todo P é cisalhante ( \sin0=0,\\ \cos0=1). Quando \alpha=90^\circ (força perpendicular ao plano) então V=0 e todo P é normal ( \sin90=1).
  1. Tensões na cola (supondo distribuição média uniforme):
\sigma = \frac{N}{A} = \frac{P\sin\alpha}{A}
\tau = \frac{V}{A} = \frac{P\cos\alpha}{A}
onde A é a área de adesivo (em \mathrm{mm}^2, se usar \sigma_U e \tau_U em \mathrm{N/mm}^2 ou \mathrm{MPa}).
  1. Coeficiente de segurança. Uma prática usual e conservadora para juntas coladas sujeitas a tração e cisalhamento é exigir que ambas as tensões médias fiquem abaixo das respectivas resistências últimas. Então define-se:
k_\sigma=\frac{\sigma_{U}}{\sigma}=\frac{\sigma_{U}\,A}{P\sin\alpha}, \qquad k_\tau=\frac{\tau_{U}}{\tau}=\frac{\tau_{U}\,A}{P\cos\alpha}.
O coeficiente de segurança da junta é o menor dos dois (porque a falha ocorre quando qualquer modo atinge seu limite):
k=\min\!\left(k_\sigma,k_\tau\right).

Passo 4

Conversão de unidades e fórmula pronta para cálculo prático (para você aplicar sem calculadora complicada):
  • Use P=6000\\ \mathrm{N}.
  • Como 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^2}, pode usar \sigma_U e \tau_U em \mathrm{N/mm^2}.
  • Se A estiver em \mathrm{mm^2}, então \sigma e \tau virão em \mathrm{N/mm^2} diretamente.
Fórmulas finais (prontas para substituir números):
k_\sigma=\frac{1{,}26\;A}{6000\sin(20^\circ)}, \qquad k_\tau=\frac{1{,}50\;A}{6000\cos(20^\circ)}, \qquad k=\min\!\left(k_\sigma,k_\tau\right).

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para você ver como aplicar). Aqui vou assumir explicitamente uma hipótese comum, só para ilustrar: assumir que a área de cola é a face inteira a\times b. Isto é UMA HIPÓTESE: se a figura do enunciado for diferente, estes números serão inválidos.
Assumindo A=a\cdot b=100\cdot60=6000\\ \mathrm{mm^2}:
Cálculos (usando \sin20^\circ\approx0{,}34202 e \cos20^\circ\approx0{,}93969):
N=6000\cdot\sin20^\circ\approx2052{,}1\\ \mathrm{N}, \qquad V=6000\cdot\cos20^\circ\approx5638{,}2\\ \mathrm{N}.
\sigma=\frac{2052{,}1}{6000}\approx0{,}3420\\ \mathrm{N/mm^2}=0{,}3420\\ \mathrm{MPa}, \qquad \tau=\frac{5638{,}2}{6000}\approx0{,}9397\\ \mathrm{N/mm^2}=0{,}9397\\ \mathrm{MPa}.
k_\sigma=\frac{1{,}26}{0{,}3420}\approx3{,}68, \qquad k_\tau=\frac{1{,}50}{0{,}9397}\approx1{,}60.
Portanto, com esta hipótese a junta teria:
k=\min(3{,}68,\;1{,}60)=1{,}60.
Reforço: isto é apenas um exemplo numérico assumindo que a cola ocupa a face inteira 100\times60\\ \mathrm{mm}. Se a área real for menor, k será menor; se for maior, k será maior.

Passo 6

Resumo prático e próximo passo:
  • Sem a figura ou sem a confirmação do valor da área de cola A (ou do comprimento de sobreposição), não é possível determinar numericament o coeficiente de segurança pedido de forma definitiva.
  • Se você confirmar que a área é realmente A=100\cdot60=6000\\ \mathrm{mm^2} (isto é, cola em toda a face), então o coeficiente de segurança para \alpha=20^\circ é aproximadamente k\approx1{,}60 (como exemplifiquei).
  • Se a área for outra, aplique as fórmulas do Passo 4 substituindo o valor de A e calcule k_\sigma e k_\tau, tomando k=\min(k_\sigma,k_\tau).

Resposta

Não é possível determinar numericamente o coeficiente de segurança porque a figura que define a área efetiva da cola (valor de A ou comprimento de sobreposição) não foi fornecida; falta o valor de A da junta.

Exercícios relacionados