2- Como a velocidade de desaparecimento do ozônio relaciona-se com a velocidade de desaparecimento do oxigênio na seguinte equação:
2 \mathrm{O}_{3}(g) \rightarrow 3 \mathrm{O}_{2}(g)

Passo 1

O enunciado dá a reação
2\mathrm{O}_3(g) \rightarrow 3\mathrm{O}_2(g)
e pergunta como a velocidade de desaparecimento do ozônio se relaciona com a velocidade de desaparecimento (ou formação) do oxigênio. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente estequiométrico do ozônio ( \mathrm{O}_3) é 2.
  • Coeficiente estequiométrico do oxigênio ( \mathrm{O}_2) é 3.
  • As concentrações dependem do tempo: [\mathrm{O}_3](t) e [\mathrm{O}_2](t).
  • A pergunta envolve velocidades (derivadas temporais) das concentrações.

Passo 2

Conceito-chave: definição de velocidade de reação a partir da estequiometria.
  • Para uma reação genérica
aA \longrightarrow bB
a velocidade da reação pode ser definida por
r = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = \frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt}.
Explicando cada parte:
  • [A] e [B] são as concentrações molares de A e B, funções do tempo t.
  • d[A]/dt é a taxa de variação da concentração de A com o tempo. Para um reagente que desaparece, essa derivada é negativa; por isso colocamos o sinal menos para que r fique positivo.
  • a e b são os coeficientes estequiométricos (números inteiros da equação balanceada).
  • A igualdade acima garante que a “velocidade da reação” é a mesma, seja medida a partir do consumo do reagente ou da formação do produto, ajustada pelos coeficientes estequiométricos.

Passo 3

Aplicando o conceito à reação dada. Aqui a=2 para \mathrm{O}_3 e b=3 para \mathrm{O}_2. Logo a velocidade da reação r satisfaz
r = -\frac{1}{2}\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt} = \frac{1}{3}\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt}.
Isto já é a relação direta entre as derivadas temporais das concentrações, ajustada pelos coeficientes estequiométricos.

Passo 4

Manipulando a equação para obter uma relação direta entre as taxas de variação (sem o r):
a partir de
-\frac{1}{2}\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt} = \frac{1}{3}\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt},
multiplicando ambos os lados por 6 (o MMC de 2 e 3) obtemos
-3\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt} = 2\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt},
portanto
-\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt} = \frac{2}{3}\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt}.
Interpretação dos sinais:
  • -\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt} é a velocidade de desaparecimento (positiva) do ozônio.
  • \frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} é a velocidade de formação do oxigênio (positiva aqui).
    Assim, a equação mostra que a velocidade com que o ozônio é consumido é \tfrac{2}{3} da velocidade com que o oxigênio é formado, ou invertendo,
\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} = -\frac{3}{2}\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt}.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: suponha que o ozônio esteja sendo consumido a uma taxa de 0{,}30\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}\,s^{-1}}, ou seja -\dfrac{d[\mathrm{O}_3]}{dt}=0{,}30.
Usando
\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} = -\frac{3}{2}\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt},
temos
\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt} = \frac{3}{2}\times 0{,}30 = 0{,}45\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}\,s^{-1}}.
Então, enquanto consumimos 0{,}30 de \mathrm{O}_3 por segundo, formamos 0{,}45 de \mathrm{O}_2 por segundo — a razão 3:2 vem direto dos coeficientes estequiométricos.

Passo 6

Resumo intuitivo: a estequiometria diz quantas moléculas de produto aparecem para cada molécula de reagente consumida. Para transformar isso em taxas (velocidades), dividimos as derivadas temporais pelos coeficientes; igualando essas expressões obtemos relações simples entre as velocidades de consumo/produção das espécies.

Resposta

-\frac{1}{2}\frac{d[\mathrm{O}_3]}{dt}=\frac{1}{3}\frac{d[\mathrm{O}_2]}{dt}

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