A velocidade da luz no meio de um volume de água em repouso é igual a
. Quando a água se desloca em relação a nós, verificamos que a velocidade da luz depende da velocidade da água. Isso viola o segundo postulado de Einstein?
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da luz no interior da água em repouso e pergunta se o fato de a velocidade observada depender da velocidade da água, quando a água se move, viola o segundo postulado de Einstein.
Informações fornecidas:
- Velocidade da luz na água em repouso:
.
Pergunta a responder:
- Isso viola o segundo postulado de Einstein?
Passo 2
Primeiro, vamos escrever claramente o que diz o segundo postulado de Einstein (formulado de maneira prática, sem jargões desnecessários).
- O segundo postulado afirma que a velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais e tem o valor
(onde ).
Aqui é importante notar duas coisas: (i) o postulado fala da luz no vácuo, e (ii) fala de um valor universal, não da velocidade da luz em meios materiais.
Passo 3
Agora explicar por que a luz na água tem velocidade diferente de
.
Definição de índice de refração: em repouso do meio define-se o índice de refração
por
onde
é a velocidade da luz no meio (no referencial em que o meio está em repouso) e
é a velocidade da luz no vácuo. Aqui:
-
é adimensional; -
é a velocidade medida no referencial do meio (aqui, água em repouso).
Com os números dados, podemos calcular
. Tomando
e
,
Ou seja, o índice de refração da água é cerca de
, o que explica matematicamente por que a luz anda mais devagar dentro da água:
.
Passo 4
Explicar por que, quando a água se move, a velocidade observada da luz depende da velocidade da água — e por que isso é compatível com a relatividade.
Intuição física: dentro de um meio material a propagação da luz resulta de interações com as partículas do meio (absorção/emissão coerente, polarização, etc.). Isso faz com que a velocidade efetiva da onda no referencial do meio seja reduzida para
. Se o meio se move, as interações “arrastam” a onda parcialmente — não é surpresa física que o valor observado no referencial do observador dependa da velocidade do meio.
Agora a parte matemática (fácil de seguir): suponha que o meio se move com velocidade
em relação ao observador, na mesma direção da luz. Denotemos:
-
= velocidade da luz no meio no referencial do meio (aqui ); -
= velocidade da água relativa ao observador; -
= velocidade da luz observada no referencial do observador.
A transformação relativística de velocidades (adição relativística) dá a relação
Explicando as variáveis:
-
é o que queremos calcular (velocidade medida por quem vê a água movendo-se); -
é conhecido ( ); -
é a velocidade do meio.
Para velocidades do meio pequenas comparadas com
(caso típico experimental), podemos expandir a expressão até termos lineares em
. Fazendo a expansão em
:
primeiro note que (aproximação até ordem
). Multiplicando:
primeiro note que
onde desprezamos termos da ordem
. Agora substituímos
:
Portanto
Essa fórmula é exatamente a forma do arraste de Fresnel (coeficiente de arraste
) medida experimentalmente por Fizeau no século XIX. Logo, a dependência observada entre
e
é prevista por transformações relativísticas e pela teoria da interação luz-meio.
Passo 5
Interpretação e conclusão lógica:
- O segundo postulado de Einstein exige a invariância de \emph{c} apenas para a luz no vácuo; ele não diz que a velocidade da luz em meios materiais deve ser a mesma em todos os referenciais.
- A velocidade da luz em um meio é uma propriedade efetiva resultante de interações com o meio (índice de refração) e, quando o meio se move, a velocidade observada transforma-se segundo as leis da relatividade (adição relativística), produzindo o efeito de arraste (Fresnel) que foi medido experimentalmente.
- Portanto, o fato de a velocidade observada da luz em água em movimento depender de
não é uma violação do segundo postulado; ao contrário, é totalmente compatível com a teoria da relatividade especial.
Passo 6
Breve comentário histórico e pedagógico (para te motivar): o experimento de Fizeau (1851) mediu exatamente esse arraste parcial e foi um dos experimentos que influenciaram o desenvolvimento da teoria eletromagnética e mais tarde da relatividade. A relatividade dá uma explicação conceitual e quantitativa simples (transformação de velocidades) que reproduz o arraste de Fresnel no limite de baixas velocidades.
Resposta
Não. Não viola o segundo postulado de Einstein: o postulado vale para a velocidade da luz no vácuo (
); em meios materiais a velocidade efetiva é
e, quando o meio se move, o valor medido transforma-se segundo a adição relativística de velocidades (resultando, em baixas velocidades, no arraste de Fresnel
), compatível com a relatividade.