A velocidade da luz no meio de um volume de água em repouso é igual a 2,25 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quando a água se desloca em relação a nós, verificamos que a velocidade da luz depende da velocidade da água. Isso viola o segundo postulado de Einstein?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da luz no interior da água em repouso e pergunta se o fato de a velocidade observada depender da velocidade da água, quando a água se move, viola o segundo postulado de Einstein.
Informações fornecidas:
  • Velocidade da luz na água em repouso: v_{\text{água}}=2,25\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}á.
Pergunta a responder:
  • Isso viola o segundo postulado de Einstein?

Passo 2

Primeiro, vamos escrever claramente o que diz o segundo postulado de Einstein (formulado de maneira prática, sem jargões desnecessários).
  • O segundo postulado afirma que a velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais e tem o valor c (onde c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).
    Aqui é importante notar duas coisas: (i) o postulado fala da luz no vácuo, e (ii) fala de um valor universal c, não da velocidade da luz em meios materiais.

Passo 3

Agora explicar por que a luz na água tem velocidade diferente de c.
Definição de índice de refração: em repouso do meio define-se o índice de refração n por
n=\frac{c}{v_m},
onde v_m é a velocidade da luz no meio (no referencial em que o meio está em repouso) e c é a velocidade da luz no vácuo. Aqui:
  • n é adimensional;
  • v_m é a velocidade medida no referencial do meio (aqui, água em repouso).
Com os números dados, podemos calcular n. Tomando c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e v_m=2,25\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
n=\frac{3,00\times10^{8}}{2,25\times10^{8}}= \frac{3,00}{2,25}=1,\overline{3}\approx\frac{4}{3}.
Ou seja, o índice de refração da água é cerca de n\approx1,33, o que explica matematicamente por que a luz anda mais devagar dentro da água: v_m=c/n.

Passo 4

Explicar por que, quando a água se move, a velocidade observada da luz depende da velocidade da água — e por que isso é compatível com a relatividade.
Intuição física: dentro de um meio material a propagação da luz resulta de interações com as partículas do meio (absorção/emissão coerente, polarização, etc.). Isso faz com que a velocidade efetiva da onda no referencial do meio seja reduzida para v_m=c/n. Se o meio se move, as interações “arrastam” a onda parcialmente — não é surpresa física que o valor observado no referencial do observador dependa da velocidade do meio.
Agora a parte matemática (fácil de seguir): suponha que o meio se move com velocidade u em relação ao observador, na mesma direção da luz. Denotemos:
  • v_m = velocidade da luz no meio no referencial do meio (aqui v_m=c/n);
  • u = velocidade da água relativa ao observador;
  • v' = velocidade da luz observada no referencial do observador.
A transformação relativística de velocidades (adição relativística) dá a relação
v'=\frac{v_m+u}{1+\dfrac{u\,v_m}{c^{2}}}.
Explicando as variáveis:
  • v' é o que queremos calcular (velocidade medida por quem vê a água movendo-se);
  • v_m é conhecido ( c/n);
  • u é a velocidade do meio.
Para velocidades do meio pequenas comparadas com c (caso típico experimental), podemos expandir a expressão até termos lineares em u. Fazendo a expansão em u/c\ll1:
primeiro note que \dfrac{1}{1+\dfrac{u v_m}{c^2}}\approx 1-\dfrac{u v_m}{c^2} (aproximação até ordem u). Multiplicando:
v' \approx (v_m+u)\left(1-\frac{u v_m}{c^2}\right) \approx v_m + u\left(1-\frac{v_m^{2}}{c^{2}}\right),
onde desprezamos termos da ordem u^{2}. Agora substituímos v_m=c/n:
1-\frac{v_m^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{n^{2}}.
Portanto
v' \approx v_m + u\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right).
Essa fórmula é exatamente a forma do arraste de Fresnel (coeficiente de arraste 1-1/n^{2}) medida experimentalmente por Fizeau no século XIX. Logo, a dependência observada entre v' e u é prevista por transformações relativísticas e pela teoria da interação luz-meio.

Passo 5

Interpretação e conclusão lógica:
  • O segundo postulado de Einstein exige a invariância de \emph{c} apenas para a luz no vácuo; ele não diz que a velocidade da luz em meios materiais deve ser a mesma em todos os referenciais.
  • A velocidade da luz em um meio é uma propriedade efetiva resultante de interações com o meio (índice de refração) e, quando o meio se move, a velocidade observada transforma-se segundo as leis da relatividade (adição relativística), produzindo o efeito de arraste (Fresnel) que foi medido experimentalmente.
  • Portanto, o fato de a velocidade observada da luz em água em movimento depender de u não é uma violação do segundo postulado; ao contrário, é totalmente compatível com a teoria da relatividade especial.

Passo 6

Breve comentário histórico e pedagógico (para te motivar): o experimento de Fizeau (1851) mediu exatamente esse arraste parcial e foi um dos experimentos que influenciaram o desenvolvimento da teoria eletromagnética e mais tarde da relatividade. A relatividade dá uma explicação conceitual e quantitativa simples (transformação de velocidades) que reproduz o arraste de Fresnel no limite de baixas velocidades.

Resposta

Não. Não viola o segundo postulado de Einstein: o postulado vale para a velocidade da luz no vácuo ( c); em meios materiais a velocidade efetiva é v_m=c/n e, quando o meio se move, o valor medido transforma-se segundo a adição relativística de velocidades (resultando, em baixas velocidades, no arraste de Fresnel v'\approx v_m+u(1-1/n^{2})), compatível com a relatividade.

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