Você está em pé na plataforma de uma estação de trem observando um trem passar em alta velocidade. Uma luz dentro de um dos vagões é acesa e pouco depois apagada. (a) Quem pode medir o intervalo de tempo próprio para a duração da luz: você ou um passageiro no trem?
Passo 1
O enunciado dá uma situação com dois eventos claros: (i) a luz dentro de um vagão acende e (ii) a mesma luz apaga pouco depois. O trem está se movendo em relação à plataforma onde você (observador na plataforma) está em pé. A pergunta é: quem pode medir o intervalo de tempo próprio para a duração do pulso de luz — você (na plataforma) ou um passageiro dentro do trem?
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Há dois eventos distintos: “luz acende” e “luz apaga”.
- Ambos os eventos acontecem dentro do mesmo vagão (isto é, no mesmo lugar do referencial do trem).
- O trem (e o vagão) estão em movimento relativo à plataforma onde você está.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um “evento” e o que é “intervalo próprio” de forma bem didática.
-
Evento: em relatividade, um evento é só um ponto no espaço-tempo: tem uma posição espacial e um instante de tempo. Por exemplo, “a luz acende em tal lugar, naquele instante” é um evento; “a luz apaga em tal lugar, naquele outro instante” é outro evento.
-
Intervalo de tempo entre dois eventos num dado referencial: é o que um relógio desse referencial marca entre os dois instantes em que os eventos ocorrem.
-
Intervalo próprio (ou tempo próprio),
: é o tempo medido por um relógio que está presente em ambos os eventos — isto é, um relógio que fica no mesmo ponto espacial quando ocorrem os dois eventos. Em linguagem simples: se um único relógio “vê” os dois eventos acontecerem ao seu lado, o tempo que ele marca entre eles é o tempo próprio.
Agora, a fórmula que relaciona esses conceitos (a expressão do intervalo invariável entre dois eventos de separação temporal — separação “temporal” significa que é possível existir um relógio passando pelos dois eventos) é, em uma dimensão espacial para ficar simples:
onde:
-
é a velocidade da luz; -
é o intervalo de tempo entre os eventos medido em um referencial qualquer (por exemplo, o da plataforma); -
é a separação espacial entre os eventos nesse mesmo referencial; -
é o intervalo próprio (o tempo marcado pelo relógio que passa pelos dois eventos).
Se num certo referencial os dois eventos ocorrem no mesmo lugar espacial, então nesse referencial
, e a fórmula reduz para
Ou seja: no referencial em que os eventos ocorrem no mesmo ponto espacial, o tempo coordenado desse referencial é exatamente o tempo próprio.
Passo 3
Aplicando isso ao problema: os dois eventos (acender e apagar da luz) ocorrem dentro do mesmo vagão. No referencial do trem (o referencial do passageiro sentado ao lado da luz) esses dois eventos acontecem no mesmo lugar espacial do vagão, portanto nesse referencial a separação espacial entre os eventos é
. Logo, no referencial do trem vale
onde
é o tempo medido pelo relógio do passageiro (ou por um relógio fixo ao lado da lâmpada). Isso identifica
como o tempo próprio.
No referencial da plataforma, os dois eventos não ocorrem no mesmo lugar: enquanto a lâmpada acende e depois apaga, o vagão se desloca. Em termos simples, se o trem tem velocidade
em relação à plataforma, a separação espacial entre os eventos vista da plataforma é
. Substituindo na fórmula do intervalo:
Isolando
(o tempo medido pela plataforma) obtemos a conhecida relação de dilatação do tempo:
Isso mostra que o tempo medido pela plataforma (
) é maior que o tempo próprio (
) quando
. Em outras palavras, o relógio que esteve junto à lâmpada (o do passageiro) marca o menor tempo entre os eventos — e esse menor tempo é o tempo próprio.
Passo 4
Um exemplo numérico rápido só para fixar a ideia: se o trem vai a
então
Se o passageiro medir
entre acender e apagar, alguém parado na plataforma medirá
. O observador na plataforma vê o tempo “esticado” por causa do movimento relativo.
Passo 5
Resumo conceitual e incentivo: o tempo próprio é sempre o tempo marcado pelo relógio que está presente em ambos os eventos (isto é, que ocupa o mesmo ponto espacial para os dois eventos). No nosso caso, esse relógio é o que está fixo ao lado da lâmpada, dentro do vagão. Então a medição do intervalo próprio é feita no referencial do vagão — pelo passageiro que está junto à lâmpada. Força aí nos estudos — relatividade parece estranha no começo, mas com esses passos fica clarinho quem mede o quê!
Resposta
O passageiro no trem.