4 A velocidade de uma onda eletromagnética propagando-se através de uma substância transparente não magnética é v=1 / \sqrt{\kappa \epsilon_{0} \mu_{0}}\\ ), onde \(\kappa é a constante dielétrica da substância. Determine a velocidade da luz na água, que tem uma constante dielétrica em freqüências ópticas de 1,78.)

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula da velocidade de uma onda eletromagnética numa substância transparente e não magnética:
v=\frac{1}{\sqrt{\kappa \epsilon_{0} \mu_{0}}}
e diz que a constante dielétrica da água em frequências ópticas é \kappa=1,78. A pergunta é: determinar a velocidade da luz na água.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula: \displaystyle v=\frac{1}{\sqrt{\kappa \epsilon_{0} \mu_{0}}}.
  • A constante dielétrica (permitividade relativa) da água em óptico: \kappa=1,78.
  • A substância é não magnética (logo a permeabilidade relativa é 1, ou seja a permeabilidade é \mu_{0}).

Passo 2

Entender o que cada símbolo representa (explicação didática):
  • \kappa é a constante dielétrica (também chamada permitividade relativa \epsilon_{r}); ela mede quanto a substância aumenta a permitividade elétrica em relação ao vácuo. Para o vácuo \kappa=1.
  • \epsilon_{0} é a permitividade do vácuo; é uma constante física que aparece nas equações do eletromagnetismo.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo; como a substância é não magnética, a permeabilidade da substância é \mu=\mu_{0}.
  • A velocidade da luz no vácuo c está relacionada a \epsilon_{0} e \mu_{0} por:
c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}.
Usando isso, podemos simplificar a expressão para v. Substituindo na fórmula inicial:
v=\frac{1}{\sqrt{\kappa\,\epsilon_{0}\mu_{0}}} =\frac{1}{\sqrt{\kappa}\,\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}} =\frac{1}{\sqrt{\kappa}}\cdot\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}} =\frac{c}{\sqrt{\kappa}}.
Ou seja, a velocidade da luz na substância é a velocidade no vácuo dividida pela raiz quadrada da constante dielétrica.

Passo 3

Valores numéricos que vamos usar:
  • A velocidade da luz no vácuo pode ser usada como \displaystyle c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (valor convencionalmente usado em problemas).
  • A constante dielétrica dada: \kappa=1,78.

Passo 4

Calcular a raiz quadrada de \kappa:
\sqrt{\kappa}=\sqrt{1,78}\approx1,334166\ldots
(Explicando rapidamente: para calcular \sqrt{1,78} pode-se usar uma calculadora ou uma aproximação; aqui uso a aproximação numérica suficiente para a precisão prática.)

Passo 5

Montar a expressão numérica para v usando v=c/\sqrt{\kappa}:
v=\frac{2,99792458\times10^{8}}{\sqrt{1,78}}.
Esse é o cálculo que falta efetuar para obter a velocidade da luz na água.

Resposta

2,247\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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