A velocidade de uma partícula em função do tempo é
v(t)=3 t+2
Calcule o deslocamento da partícula entre t=0 e t=3 s.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula como \,v(t)=3\,t+2\, e pede o deslocamento entre \,t=0 e \,t=3\\ \text{s}.
Informações relevantes:
  • A função velocidade é \,v(t)=3\,t+2\,.
  • O intervalo de tempo pedido é de \,t=0 até \,t=3\\ \text{s}.
  • A pergunta: calcular o deslocamento (variação da posição) nesse intervalo.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): o deslocamento entre dois instantes \,t_1 e \,t_2 é a área algébrica sob a curva velocidade versus tempo nesse intervalo. Em matemática isso vira uma integral definida:
\Delta x=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.
Aqui:
  • \,\Delta x é o deslocamento (unidade de comprimento, por exemplo metros).
  • \,v(t) é a velocidade em função do tempo (unidade de comprimento por tempo, por exemplo metros por segundo).
  • \,dt indica que estamos somando “pequenos pedaços de tempo”.
    No nosso caso \,t_1=0 e \,t_2=3.

Passo 3

Como calcular a integral: precisamos achar uma primitiva (ou antiderivada) de \,v(t). Relembrando as regras básicas de integração:
  • Regra do polinômio (regra da potência): para n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde \,C é a constante de integração.
  • Regra da constante: para constante \,a,
\int a\,dt = a\,t + C.
Essas fórmulas servem para integrar cada termo de um polinômio separadamente.

Passo 4

Aplicando as regras a \,v(t)=3\,t+2:
  • Integrando o termo \,3t: use a regra da potência com n=1,
\int 3t\,dt = 3\int t\,dt = 3\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{3}{2}t^{2}.
  • Integrando o termo \,2: use a regra da constante,
\int 2\,dt = 2t.
Somando as primitivas obtemos uma primitiva de \,v:
x(t)=\frac{3}{2}t^{2}+2t+C.
Para integral definida \,\int_{0}^{3}v(t)\,dt a constante C cancela, então basta calcular x(3)-x(0).

Passo 5

Avaliar a primitiva nos extremos:
x(3)=\frac{3}{2}\cdot 3^{2}+2\cdot 3=\frac{3}{2}\cdot 9 + 6=\frac{27}{2}+6.
Colocando em denominação comum:
\frac{27}{2}+6=\frac{27}{2}+\frac{12}{2}=\frac{39}{2}.
E
x(0)=\frac{3}{2}\cdot 0^{2}+2\cdot 0=0.
Portanto o deslocamento é
\Delta x = x(3)-x(0)=\frac{39}{2}.
Em unidade decimal isso é \,19,5. Assumindo que a velocidade estava em metros por segundo, o deslocamento fica em metros.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o resultado positivo significa que, no intervalo de \,0 a \,3\\ \text{s}, a partícula avançou no sentido positivo um total de \,19,5\\ \text{m}. Mandou bem por chegar até aqui — esse tipo de cálculo é muito comum em provas e, com a regra da potência para integrais, fica mecânico depois de praticar algumas vezes.

Resposta

\displaystyle \Delta x=\frac{39}{2}\\ \text{m}=19,5\\ \text{m}

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