A velocidade de uma partícula em função do tempo é
Calcule o deslocamento da partícula entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula como
e pede o deslocamento entre
e
.
Informações relevantes:
- A função velocidade é
. - O intervalo de tempo pedido é de
até . - A pergunta: calcular o deslocamento (variação da posição) nesse intervalo.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): o deslocamento entre dois instantes
e
é a área algébrica sob a curva velocidade versus tempo nesse intervalo. Em matemática isso vira uma integral definida:
Aqui:
-
é o deslocamento (unidade de comprimento, por exemplo metros). -
é a velocidade em função do tempo (unidade de comprimento por tempo, por exemplo metros por segundo). -
indica que estamos somando “pequenos pedaços de tempo”.
No nosso casoe .
Passo 3
Como calcular a integral: precisamos achar uma primitiva (ou antiderivada) de
. Relembrando as regras básicas de integração:
- Regra do polinômio (regra da potência): para
,
onde
é a constante de integração.
- Regra da constante: para constante
,
Essas fórmulas servem para integrar cada termo de um polinômio separadamente.
Passo 4
Aplicando as regras a
:
- Integrando o termo
: use a regra da potência com ,
- Integrando o termo
: use a regra da constante,
Somando as primitivas obtemos uma primitiva de
:
Para integral definida
a constante
cancela, então basta calcular
.
Passo 5
Avaliar a primitiva nos extremos:
Colocando em denominação comum:
E
Portanto o deslocamento é
Em unidade decimal isso é
. Assumindo que a velocidade estava em metros por segundo, o deslocamento fica em metros.
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: o resultado positivo significa que, no intervalo de
a
, a partícula avançou no sentido positivo um total de
. Mandou bem por chegar até aqui — esse tipo de cálculo é muito comum em provas e, com a regra da potência para integrais, fica mecânico depois de praticar algumas vezes.