- A velocidade de uma reação foi acompanhada medindo a absorbância de uma solução em diferentes tempos.
Tempo/min
0
18
57
130
240
337
398
Absorbância
2,19
2,06
1,83
1,506
1,198
1,051
0,980
0
Demonstrar que a reação é de primeira ordem e determine a constante de velocidade.
| Tempo/min | 0 | 18 | 57 | 130 | 240 | 337 | 398 |
|
| Absorbância | 2,19 | 2,06 | 1,83 | 1,506 | 1,198 | 1,051 | 0,980 | 0 |
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos da tabela do enunciado):
- Tempos (em minutos):
. - Absorbâncias correspondentes:
.
- Tempos (em minutos):
-
O enunciado pede:
- Demonstrar que a reação é de primeira ordem.
- Determinar a constante de velocidade
(unidade em , já que os tempos estão em minutos).
Passo 2
Por que podemos usar absorbância para estudar velocidade? Explicando a relação física (lei de Beer–Lambert):
onde:
-
é a absorbância (grandeza medida no experimento); -
é a absortividade molar (constante do sistema e do comprimento de onda); -
é o caminho óptico (comprimento da cubeta, também constante); -
é a concentração da espécie que absorve.
Como
e
são constantes experimentais, temos
. Ou seja, variações de
refletem variações de
na mesma proporção. Portanto podemos usar
no lugar de
nas leis cinéticas (isto é padrão em cinética experimental).
Passo 3
Recordando a lei de velocidade de primeira ordem e sua integração (aula rápida):
Para uma reação de primeira ordem relativamente à concentração
da espécie observada, a equação diferencial é
onde
é a constante de velocidade. Integrando essa equação separável:
que dá
ou equivalentemente
Como
, substituindo
em lugar de
obtemos a relação testável:
Isto diz que, se a reação é de primeira ordem, um gráfico de
versus
deve ser uma reta decrescente com coeficiente angular igual a
. Logo a verificação prática é: calcular
para cada tempo e verificar linearidade; o declive dá
.
Passo 4
Calcular
para cada ponto (valores aproximados, calculados com ln natural). Exemplo de cálculo:
. A tabela:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Esses valores mostram uma queda aproximadamente linear de
com
, já sugerindo primeira ordem. Mas vamos quantificar.
Passo 5
Verificação rápida de linearidade (checagem por declives entre pontos iniciais): para confirmar que os declives são aproximadamente constantes, calcula-se por exemplo
valores próximos entre si confirmam comportamento aproximadamente exponencial (primeira ordem). Para obter um valor mais representativo e reduzir o efeito de ruído experimental, faz-se ajuste linear por mínimos quadrados em
versus
.
Passo 6
Ajuste linear por mínimos quadrados (passo a passo):
Queremos ajustar a reta
, onde
é o declive e
. Fórmula do declive por mínimos quadrados (dados
pares
com
):
Usando os valores calculados (somatórios obtidos a partir da tabela de
e
):
Substituindo:
Portanto
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
(Interpretação: o ajuste linear confirma que
depende linearmente de
, o que demonstra que a reação obedece cinética de primeira ordem; o declive negativo do ajuste fornece
.)
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: a análise usando a relação
e o ajuste por mínimos quadrados mostra que os pontos caem praticamente sobre uma reta; isso demonstra a ordem um. O valor obtido para a constante é pequeno (reação lenta),
. Força aí — com esse procedimento você consegue na prova: calcule
, faça um ajuste linear (ou estime declives entre pontos), e extraia
.
Resposta
A reação é de primeira ordem.