A velocidade terminal é um conceito central no estudo de Sistemas Particulados e Operações Unitárias, sendo fundamental para o projeto e otimização de processos de separação sólido-fluido, como sedimentação, flotação e separação em ciclones.
a) Explique o que é a velocidade terminal de uma partícula esférica em um fluido estagnado e qual é o princípio físico (equilíbrio de forças) que rege este estado. Apresente a equação geral de equilíbrio de forças envolvidas.
b) Identifique e descreva as principais variáveis que exercem influência sobre o valor da velocidade terminal, explique seus efeitos.
c) Explique por que a equação para o cálculo da velocidade terminal varia significativamente dependendo do número de Reynolds. Compare, em termos conceituais, a dependência da
em relação ao diâmetro da partícula nos regimes de Stokes e de Newton.
a) Explique o que é a velocidade terminal de uma partícula esférica em um fluido estagnado e qual é o princípio físico (equilíbrio de forças) que rege este estado. Apresente a equação geral de equilíbrio de forças envolvidas.
b) Identifique e descreva as principais variáveis que exercem influência sobre o valor da velocidade terminal, explique seus efeitos.
c) Explique por que a equação para o cálculo da velocidade terminal varia significativamente dependendo do número de Reynolds. Compare, em termos conceituais, a dependência da
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
a) Definir o que é a velocidade terminal de uma partícula esférica num fluido em repouso e apresentar o princípio físico (equilíbrio de forças) que determina esse estado, com a equação geral de equilíbrio das forças envolvidas.
b) Identificar e descrever as principais variáveis que influenciam o valor da velocidade terminal e explicar o efeito de cada uma.
c) Explicar por que a fórmula para calcular a velocidade terminal muda conforme o número de Reynolds e comparar, qualitativamente, como a velocidade terminal depende do diâmetro da partícula nos regimes de Stokes e de Newton.
a) Definir o que é a velocidade terminal de uma partícula esférica num fluido em repouso e apresentar o princípio físico (equilíbrio de forças) que determina esse estado, com a equação geral de equilíbrio das forças envolvidas.
b) Identificar e descrever as principais variáveis que influenciam o valor da velocidade terminal e explicar o efeito de cada uma.
c) Explicar por que a fórmula para calcular a velocidade terminal muda conforme o número de Reynolds e comparar, qualitativamente, como a velocidade terminal
Informações implícitas que usaremos (típicas do problema): partícula esférica de diâmetro conhecido
, densidade da partícula
, densidade do fluido
, viscosidade dinâmica do fluido
, aceleração da gravidade
. A partícula assintótica alcança velocidade constante relativa ao fluido (velocidade terminal) num fluido em repouso.
Passo 2
O que é a velocidade terminal e qual é o equilíbrio de forças?
- Intuição: quando uma partícula cai num fluido em repouso, ela acelera inicialmente, mas depois as forças que agem sobre ela se equilibram e a velocidade torna-se constante — essa velocidade constante é a velocidade terminal. É um estado estacionário.
- Forças relevantes (para uma esfera em queda lenta a moderada): peso da partícula, empuxo (flutuabilidade) e força de arrasto do fluido sobre a esfera. Em muitos problemas de graduação podemos desprezar forças não usuais (por exemplo força de Basset, força de massa adicionada) quando o estado é estacionário e não há histórica aceleratória significativa.
- Equilíbrio de forças (equação geral): a soma das forças verticais é zero em regime terminal. Escrevemos em forma algébrica:
Aqui
é o peso da partícula,
é o empuxo e
é a força de arrasto.
Passo 3
Explicação e fórmulas para cada termo (e substituição para esfera):
- Volume da esfera:
- Área projetada da esfera (perpendicular à velocidade):
- Peso (força gravitacional):
- Empuxo (Arquímedes):
- Arrasto (forma geral válida em muitos regimes):
onde
é o coeficiente de arrasto (dependente do perfil de escoamento / Reynolds) e
é a velocidade terminal.
- Substituindo no equilíbrio
obtemos a forma prática:
Cancelando
e simplificando dá uma relação entre
,
,
,
e
; porém note que
geralmente depende de
por meio do número de Reynolds, então a equação pode ser implícita.
Passo 4
Definição do número de Reynolds e seu papel:
- Número de Reynolds (para a partícula):
- Interpretação física:
compara forças inerciais com viscosas no escoamento em torno da partícula. Valores baixos de indicam escoamento dominado por viscosidade (camada limite viscosa grossa, escoamento laminar e linear); valores altos indicam efeito importante das forças inerciais (escoamento turbulento, separação e arrasto quadrático). - Faixas usuais de referência (aproximadas):
-
(por exemplo ou ): regime de Stokes (viscoso, arrasto linear em ). -
a - : regime transitório, varia com . -
: regime de Newton (inércia domina, arrasto aproximadamente proporcional a e tende a valor quase constante para esferas lisas).
-
Passo 5
Regime de Stokes (passo-a-passo e derivação):
- Para
a solução analítica de Stokes dá uma força de arrasto linear:
Esta expressão vem da solução exata da equação de Stokes para uma esfera em escoamento laminar; ela mostra que o arrasto é proporcional à velocidade (comportamento linear).
- Equilíbrio de forças no regime de Stokes:
- Isolando
(passos algébricos): dividir ambos lados por ,
- Interpretação: em Stokes
Isto mostra dependência quadrática com o diâmetro
, linear com a diferença de densidades
e inversamente proporcional à viscosidade
.
Passo 6
Regime de Newton (alta velocidade / alto
):
- Em altas velocidades o arrasto tem comportamento quadrático em
:
com
aproximadamente constante para esferas em regime plenamente inercial (um valor típico para esferas lisas é
em uma faixa alta de
).
- Colocando na equação de equilíbrio e simplificando (passos algébricos):
Cancelando
e reorganizando:
Portanto
- Interpretação: aqui
escala aproximadamente com (raiz do diâmetro) e com a raiz quadrada da diferença de densidade. A dependência no diâmetro é muito mais fraca do que em Stokes.
Passo 7
Por que a equação muda com o número de Reynolds? explicação física simples:
- Em escoamento dominado por viscosidade (baixo
), as forças viscosas na vizinhança da partícula controlam o arrasto. Nessas condições as forças viscosas são proporcionais à taxa de deformação do fluido e o arrasto resulta linear em . Por isso em Stokes e . - Em escoamento dominado por inércia (alto
), as forças inerciais do fluido (pressão dinâmica, formação de vórtices e separação do escoamento) dominam e o arrasto cresce como o quadrado da velocidade: . Assim, ao equilibrar peso e arrasto, o resultado é . - Conclusão física: a mudança do expoente de
(de para ) vem diretamente da mudança funcional do arrasto com a velocidade (linear vs quadrático), que por sua vez é dita pelo balanço entre viscosidade e inércia resumido pelo .
Passo 8
Regime transitório e solução prática (como resolver quando
não é extremo):
- Na faixa intermediária
a o coeficiente depende fortemente de . Assim a equação
é implícita porque
contém
. A solução prática típica é iterativa:
- Fazer uma estimativa inicial de
(por exemplo usando a fórmula de Stokes ou um chute). - Calcular
. - Usar uma correlação para
(por exemplo correlação de Schiller–Naumann: válida até , ou usar gráfico de vs ). - Calcular novo
a partir da equação de equilíbrio e repetir até convergência.
- Observação: em aplicações reais há mais correções (efeitos de proximidade de paredes, partículas não esféricas, concentração de partículas — “hindered settling”, fluidos não-newtonianos), mas o raciocínio básico permanece.
Passo 9
Resumo das principais variáveis que influenciam
e como influenciam (lista e efeitos):
- Diâmetro da partícula
: em Stokes (forte dependência); em Newton (dependência fraca). - Diferença de densidades
: em Stokes (linear); em Newton (raiz). Aumentar a densidade da partícula aumenta . - Viscosidade dinâmica do fluido
: em Stokes (viscosidade reduz fortemente ). Em regimes inerciais o efeito direto é menor, mas afeta e portanto indiretamente . - Densidade do fluido
: aparece no empuxo e no arrasto; aumentar diminui a diferença de densidade efetiva e altera via . - Aceleração gravitacional
: aumenta com (proporcional em Stokes, raiz em Newton). - Forma e rugosidade da partícula: desviam
do valor de esfera; partículas alongadas ou rugosas têm diferentes e, portanto, velocidades terminais diferentes. - Concentração de partículas: em suspensão densa ocorre “hindered settling” (assentamento retardado por interações hidrodinâmicas), reduzindo
efetivo. - Temperatura: afeta
e , portanto muda .
Passo 10
Algumas fórmulas/correlações úteis que você pode usar na prova (resumo prático):
- Stokes (quando
):
- Newton (quando
grande e aproximadamente constante, por exemplo ):
- Correlação prática para faixa intermediária (Schiller–Naumann, válida até
):
Use iteração com
.
- Regra prática para escolher método: calcule uma
aproximada por Stokes; calcule . Se use Stokes; se for grande (centenas ou mais) use fórmula de Newton com típico; se ficar entre 1 e algumas centenas use correlações/iteração.
Resposta
(a) A velocidade terminal é a velocidade constante que uma partícula esférica atinge ao cair num fluido em repouso quando o peso da partícula equilibrado pelo empuxo é igual à força de arrasto. A equação geral de equilíbrio é
ou explicitamente
(b) Principais variáveis e seus efeitos:
(c) A fórmula muda porque o arrasto do fluido sobre a partícula depende do balanço entre forças viscosas e inerciais, medido pelo número de Reynolds
. Em
(regime de Stokes) o arrasto é linear em
e resulta em
Em
alto (regime de Newton) o arrasto é quadrático em
e, com
aproximadamente constante, resulta em
No regime intermediário usa-se correlações
e solução iterativa.