A velocidade terminal é um conceito central no estudo de Sistemas Particulados e Operações Unitárias, sendo fundamental para o projeto e otimização de processos de separação sólido-fluido, como sedimentação, flotação e separação em ciclones.
a) Explique o que é a velocidade terminal de uma partícula esférica em um fluido estagnado e qual é o princípio físico (equilíbrio de forças) que rege este estado. Apresente a equação geral de equilíbrio de forças envolvidas.
b) Identifique e descreva as principais variáveis que exercem influência sobre o valor da velocidade terminal, explique seus efeitos.
c) Explique por que a equação para o cálculo da velocidade terminal varia significativamente dependendo do número de Reynolds. Compare, em termos conceituais, a dependência da v_{t} em relação ao diâmetro da partícula nos regimes de Stokes e de Newton.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) Definir o que é a velocidade terminal de uma partícula esférica num fluido em repouso e apresentar o princípio físico (equilíbrio de forças) que determina esse estado, com a equação geral de equilíbrio das forças envolvidas.
b) Identificar e descrever as principais variáveis que influenciam o valor da velocidade terminal e explicar o efeito de cada uma.
c) Explicar por que a fórmula para calcular a velocidade terminal muda conforme o número de Reynolds e comparar, qualitativamente, como a velocidade terminal v_t depende do diâmetro da partícula nos regimes de Stokes e de Newton.
Informações implícitas que usaremos (típicas do problema): partícula esférica de diâmetro conhecido d, densidade da partícula \rho_p, densidade do fluido \rho_f, viscosidade dinâmica do fluido \mu, aceleração da gravidade g. A partícula assintótica alcança velocidade constante relativa ao fluido (velocidade terminal) num fluido em repouso.

Passo 2

O que é a velocidade terminal e qual é o equilíbrio de forças?
  • Intuição: quando uma partícula cai num fluido em repouso, ela acelera inicialmente, mas depois as forças que agem sobre ela se equilibram e a velocidade torna-se constante — essa velocidade constante é a velocidade terminal. É um estado estacionário.
  • Forças relevantes (para uma esfera em queda lenta a moderada): peso da partícula, empuxo (flutuabilidade) e força de arrasto do fluido sobre a esfera. Em muitos problemas de graduação podemos desprezar forças não usuais (por exemplo força de Basset, força de massa adicionada) quando o estado é estacionário e não há histórica aceleratória significativa.
  • Equilíbrio de forças (equação geral): a soma das forças verticais é zero em regime terminal. Escrevemos em forma algébrica:
F_g - F_b - F_d = 0.
Aqui F_g é o peso da partícula, F_b é o empuxo e F_d é a força de arrasto.

Passo 3

Explicação e fórmulas para cada termo (e substituição para esfera):
  • Volume da esfera:
V_p = \frac{\pi d^3}{6}.
  • Área projetada da esfera (perpendicular à velocidade):
A_p = \frac{\pi d^2}{4}.
  • Peso (força gravitacional):
F_g = m_p g = \rho_p V_p g = \rho_p \frac{\pi d^3}{6}\, g.
  • Empuxo (Arquímedes):
F_b = \rho_f V_p g = \rho_f \frac{\pi d^3}{6}\, g.
  • Arrasto (forma geral válida em muitos regimes):
F_d = \frac{1}{2} C_D \rho_f A_p v_t^2,
onde C_D é o coeficiente de arrasto (dependente do perfil de escoamento / Reynolds) e v_t é a velocidade terminal.
  • Substituindo no equilíbrio F_g - F_b = F_d obtemos a forma prática:
(\rho_p - \rho_f)\frac{\pi d^3}{6} g = \frac{1}{2} C_D \rho_f \frac{\pi d^2}{4} v_t^2.
Cancelando \pi e simplificando dá uma relação entre v_t, d, \rho, g e C_D; porém note que C_D geralmente depende de v_t por meio do número de Reynolds, então a equação pode ser implícita.

Passo 4

Definição do número de Reynolds e seu papel:
  • Número de Reynolds (para a partícula):
Re = \frac{\rho_f v_t d}{\mu}.
  • Interpretação física: Re compara forças inerciais com viscosas no escoamento em torno da partícula. Valores baixos de Re indicam escoamento dominado por viscosidade (camada limite viscosa grossa, escoamento laminar e linear); valores altos indicam efeito importante das forças inerciais (escoamento turbulento, separação e arrasto quadrático).
  • Faixas usuais de referência (aproximadas):
    • Re \ll 1 (por exemplo Re < 0{,}1 ou Re<1): regime de Stokes (viscoso, arrasto linear em v).
    • Re \sim 1 a 10^2- 10^3: regime transitório, C_D varia com Re.
    • Re \gg 10^3: regime de Newton (inércia domina, arrasto aproximadamente proporcional a v^2 e C_D tende a valor quase constante para esferas lisas).

Passo 5

Regime de Stokes (passo-a-passo e derivação):
  • Para Re \ll 1 a solução analítica de Stokes dá uma força de arrasto linear:
F_d = 3\pi \mu d v_t.
Esta expressão vem da solução exata da equação de Stokes para uma esfera em escoamento laminar; ela mostra que o arrasto é proporcional à velocidade (comportamento linear).
  • Equilíbrio de forças no regime de Stokes:
(\rho_p - \rho_f)\frac{\pi d^3}{6} g = 3\pi \mu d v_t.
  • Isolando v_t (passos algébricos): dividir ambos lados por 3\pi \mu d,
v_t = \frac{(\rho_p - \rho_f)\frac{\pi d^3}{6} g}{3\pi \mu d} = \frac{(\rho_p - \rho_f) g d^2}{18 \mu}.
  • Interpretação: em Stokes
v_t = \frac{(\rho_p - \rho_f) g d^2}{18 \mu}.
Isto mostra dependência quadrática com o diâmetro d, linear com a diferença de densidades (\rho_p-\rho_f) e inversamente proporcional à viscosidade \mu.

Passo 6

Regime de Newton (alta velocidade / alto Re):
  • Em altas velocidades o arrasto tem comportamento quadrático em v:
F_d \approx \frac{1}{2} C_D \rho_f A_p v_t^2,
com C_D aproximadamente constante para esferas em regime plenamente inercial (um valor típico para esferas lisas é C_D \approx 0{,}44 em uma faixa alta de Re).
  • Colocando na equação de equilíbrio e simplificando (passos algébricos):
(\rho_p - \rho_f)\frac{\pi d^3}{6} g = \frac{1}{2} C_D \rho_f \frac{\pi d^2}{4} v_t^2.
Cancelando \pi e reorganizando:
v_t^2 = \frac{4(\rho_p - \rho_f) g d}{3 C_D \rho_f}.
Portanto
v_t = \sqrt{\frac{4(\rho_p - \rho_f) g d}{3 C_D \rho_f}}.
  • Interpretação: aqui v_t escala aproximadamente com d^{1/2} (raiz do diâmetro) e com a raiz quadrada da diferença de densidade. A dependência no diâmetro é muito mais fraca do que em Stokes.

Passo 7

Por que a equação muda com o número de Reynolds? explicação física simples:
  • Em escoamento dominado por viscosidade (baixo Re), as forças viscosas na vizinhança da partícula controlam o arrasto. Nessas condições as forças viscosas são proporcionais à taxa de deformação do fluido e o arrasto resulta linear em v. Por isso em Stokes F_d \propto v e v_t \propto d^2.
  • Em escoamento dominado por inércia (alto Re), as forças inerciais do fluido (pressão dinâmica, formação de vórtices e separação do escoamento) dominam e o arrasto cresce como o quadrado da velocidade: F_d \propto v^2. Assim, ao equilibrar peso e arrasto, o resultado é v_t \propto d^{1/2}.
  • Conclusão física: a mudança do expoente de d (de d^2 para d^{1/2}) vem diretamente da mudança funcional do arrasto com a velocidade (linear vs quadrático), que por sua vez é dita pelo balanço entre viscosidade e inércia resumido pelo Re.

Passo 8

Regime transitório e solução prática (como resolver quando Re não é extremo):
  • Na faixa intermediária Re \sim 1 a 10^3 o coeficiente C_D depende fortemente de Re. Assim a equação
(\rho_p - \rho_f)\frac{\pi d^3}{6} g = \frac{1}{2} C_D(Re)\, \rho_f \frac{\pi d^2}{4} v_t^2
é implícita porque Re contém v_t. A solução prática típica é iterativa:
  1. Fazer uma estimativa inicial de v_t (por exemplo usando a fórmula de Stokes ou um chute).
  2. Calcular Re = \rho_f d v_t/\mu.
  3. Usar uma correlação para C_D(Re) (por exemplo correlação de Schiller–Naumann: C_D = \dfrac{24}{Re}\left(1+0{,}15 Re^{0{,}687}\right) válida até Re \approx 800, ou usar gráfico de C_D vs Re).
  4. Calcular novo v_t a partir da equação de equilíbrio e repetir até convergência.
  • Observação: em aplicações reais há mais correções (efeitos de proximidade de paredes, partículas não esféricas, concentração de partículas — “hindered settling”, fluidos não-newtonianos), mas o raciocínio básico permanece.

Passo 9

Resumo das principais variáveis que influenciam v_t e como influenciam (lista e efeitos):
  • Diâmetro da partícula d: em Stokes v_t \propto d^2 (forte dependência); em Newton v_t \propto d^{1/2} (dependência fraca).
  • Diferença de densidades (\rho_p - \rho_f): em Stokes v_t \propto (\rho_p-\rho_f) (linear); em Newton v_t \propto \sqrt{\rho_p-\rho_f} (raiz). Aumentar a densidade da partícula aumenta v_t.
  • Viscosidade dinâmica do fluido \mu: em Stokes v_t \propto 1/\mu (viscosidade reduz fortemente v_t). Em regimes inerciais o efeito direto é menor, mas \mu afeta Re e portanto indiretamente C_D.
  • Densidade do fluido \rho_f: aparece no empuxo e no arrasto; aumentar \rho_f diminui a diferença de densidade efetiva e altera C_D via Re.
  • Aceleração gravitacional g: v_t aumenta com g (proporcional em Stokes, raiz em Newton).
  • Forma e rugosidade da partícula: desviam C_D do valor de esfera; partículas alongadas ou rugosas têm C_D diferentes e, portanto, velocidades terminais diferentes.
  • Concentração de partículas: em suspensão densa ocorre “hindered settling” (assentamento retardado por interações hidrodinâmicas), reduzindo v_t efetivo.
  • Temperatura: afeta \mu e \rho_f, portanto muda v_t.

Passo 10

Algumas fórmulas/correlações úteis que você pode usar na prova (resumo prático):
  • Stokes (quando Re \ll 1):
v_t = \frac{(\rho_p - \rho_f)\, g\, d^2}{18 \mu}.
  • Newton (quando Re grande e C_D aproximadamente constante, por exemplo C_D\approx 0{,}44):
v_t = \sqrt{\frac{4(\rho_p - \rho_f) g d}{3 C_D \rho_f}}.
  • Correlação prática para faixa intermediária (Schiller–Naumann, válida até Re\approx 800):
C_D = \frac{24}{Re}\left(1+0{,}15 Re^{0{,}687}\right).
Use iteração com Re=\dfrac{\rho_f d v_t}{\mu}.
  • Regra prática para escolher método: calcule uma v_t aproximada por Stokes; calcule Re. Se Re<0{,}1 use Stokes; se Re for grande (centenas ou mais) use fórmula de Newton com C_D típico; se ficar entre 1 e algumas centenas use correlações/iteração.

Resposta

(a) A velocidade terminal é a velocidade constante que uma partícula esférica atinge ao cair num fluido em repouso quando o peso da partícula equilibrado pelo empuxo é igual à força de arrasto. A equação geral de equilíbrio é
F_g - F_b - F_d = 0,
ou explicitamente
(\rho_p - \rho_f)\frac{\pi d^3}{6} g = \frac{1}{2} C_D \rho_f \frac{\pi d^2}{4} v_t^2.
(b) Principais variáveis e seus efeitos:
\begin{aligned} &\text{diâmetro }d:\\ \text{aumentar }d\\ \uparrow v_t\\ (\text{Stokes }v_t\propto d^2,\\ \text{Newton }v_t\propto d^{1/2}),\\\ &\text{densidade da partícula }\rho_p:\\ \uparrow(\rho_p-\rho_f)\Rightarrow\uparrow v_t\\ (\text{Stokes: linear; Newton: raiz}),\\\ &\text{densidade do fluido }\rho_f:\\ \text{aumenta empuxo e arrasto, geralmente reduz }v_t,\\\ &\text{viscosidade }\mu:\\ \uparrow\mu\Rightarrow\downarrow v_t\\ (\text{em Stokes }v_t\propto 1/\mu),\\\ &g:\\ \uparrow g\Rightarrow\uparrow v_t,\quad\text{forma/ruído/concentração: alteram }C_D\text{ e reduzem/ajustam }v_t. \end{aligned}âííçã
(c) A fórmula muda porque o arrasto do fluido sobre a partícula depende do balanço entre forças viscosas e inerciais, medido pelo número de Reynolds Re=\dfrac{\rho_f v_t d}{\mu}. Em Re\ll1 (regime de Stokes) o arrasto é linear em v e resulta em
v_t=\frac{(\rho_p-\rho_f) g d^2}{18\mu}\quad(\text{dependência }v_t\propto d^2).ê
Em Re alto (regime de Newton) o arrasto é quadrático em v e, com C_D aproximadamente constante, resulta em
v_t=\sqrt{\frac{4(\rho_p-\rho_f) g d}{3 C_D \rho_f}}\quad(\text{dependência }v_t\propto d^{1/2}).ê
No regime intermediário usa-se correlações C_D(Re) e solução iterativa.

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