Qual a velocidade em termos de c entre o sistema em repouso e um sistema relativístico para que a massa medida em um sistema relativístico o dobro massa em repouso.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a velocidade entre dois referenciais (em termos de c) tal que a massa medida no referencial em movimento seja o dobro da massa em repouso.
Informações dadas:
  • Massa em repouso: m_0.
  • Massa relativística medida: m = 2m_0.
    O que se busca: a velocidade v expressa como uma fração de c (ou seja, encontrar v/c) que produz m=2m_0.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando como funciona): na relatividade especial, a chamada “massa relativística” é dada por
m=\gamma\,m_0,
onde \,m_0 é a massa de repouso e \gamma (fator de Lorentz) é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui:
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais (o que queremos achar);
  • c é a velocidade da luz no vácuo;
  • \gamma cresce com v e mede o quanto quantidades relativísticas (tempo, massa relativística, energia) se “dilatam” em relação ao repouso.
    Observação prática para prova: muitas vezes pedem diretamente usar m=\gamma m_0 e resolver para v; esta é a forma padrão e suficiente.

Passo 3

Aplique a condição do enunciado m=2m_0 na fórmula m=\gamma m_0. Assim
\gamma = 2.
Substituindo a definição de \gamma:
\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}=2.

Passo 4

Resolver a equação algébrica passo a passo. Primeiro inverter ambos os lados:
\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{1}{2}.
Agora elevar ao quadrado:
1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{4}.
Isolando a fração \dfrac{v^{2}}{c^{2}}:
\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Tomando raiz positiva (velocidade positiva em módulo):
\frac{v}{c}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
v=\frac{\sqrt{3}}{2}\,c.

Passo 5

Verificação numérica e interpretação: numericamente \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254. Assim
v\approx0,866\,c.
Interpretação física curta: para que a massa relativística seja o dobro da massa de repouso é preciso mover-se a cerca de 86{,}6\% da velocidade da luz — bem rápido, mas menor que c (como exige a teoria).

Passo 6

Dica prática para a prova: a relação geral invertida é útil — se souber \gamma e quiser v,
\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.
No caso \gamma=2 dá exatamente o resultado acima. Isso evita reescrever passos cada vez que a questão pedir outro fator \gamma.

Resposta

\displaystyle v=\frac{\sqrt{3}}{2}\,c
\displaystyle v\approx0,866\,c

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