Qual a velocidade em termos de
entre o sistema em repouso e um sistema relativístico para que a massa medida em um sistema relativístico o dobro massa em repouso.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a velocidade entre dois referenciais (em termos de
) tal que a massa medida no referencial em movimento seja o dobro da massa em repouso.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Massa em repouso:
. - Massa relativística medida:
.
O que se busca: a velocidadeexpressa como uma fração de (ou seja, encontrar ) que produz .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando como funciona): na relatividade especial, a chamada “massa relativística” é dada por
onde
é a massa de repouso e
(fator de Lorentz) é
Aqui:
-
é a velocidade relativa entre os referenciais (o que queremos achar); -
é a velocidade da luz no vácuo; -
cresce com e mede o quanto quantidades relativísticas (tempo, massa relativística, energia) se “dilatam” em relação ao repouso.
Observação prática para prova: muitas vezes pedem diretamente usare resolver para ; esta é a forma padrão e suficiente.
Passo 3
Aplique a condição do enunciado
na fórmula
. Assim
Substituindo a definição de
:
Passo 4
Resolver a equação algébrica passo a passo. Primeiro inverter ambos os lados:
Agora elevar ao quadrado:
Isolando a fração
:
Tomando raiz positiva (velocidade positiva em módulo):
Portanto
Passo 5
Verificação numérica e interpretação: numericamente
. Assim
Interpretação física curta: para que a massa relativística seja o dobro da massa de repouso é preciso mover-se a cerca de
da velocidade da luz — bem rápido, mas menor que
(como exige a teoria).
Passo 6
Dica prática para a prova: a relação geral invertida é útil — se souber
e quiser
,
No caso
dá exatamente o resultado acima. Isso evita reescrever passos cada vez que a questão pedir outro fator
.