Qual a velocidade em termos de
entre o sistema em repouso e um sistema relativístico para que a massa medida em um sistema relativístico seja
maior que a massa em repouso.
Passo 1
O que o exercício pede:
- Encontrar a velocidade, em termos de
, entre um sistema em repouso e um sistema em movimento tal que a massa medida no sistema em movimento seja maior que a massa em repouso.
Informações fornecidas (tiradas do enunciado):
- Massa relativística (medida no sistema em movimento):
. - Massa de repouso:
. - Queremos
expresso em função de .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Em relatividade especial, quando se usa o conceito de “massa relativística”, ela se relaciona com a massa de repouso por
onde
é a massa medida no referencial em que o objeto está se movendo,
é a massa de repouso e
é o fator de Lorentz.
- O fator de Lorentz
é dado por
Aqui:
-
é a velocidade relativa entre os dois referenciais (o que queremos encontrar). -
é a velocidade da luz no vácuo. - Para simplificar a escrita, definimos
. Assim . Nosso objetivo será achar e depois escrever .
Passo 3
Relacionar os dados do enunciado com
:
- Do enunciado temos
. Substituindo na relação obtemos
- Agora escrevemos a equação que relaciona
e :
- Vamos isolar
(passo a passo, sem pular etapas): - Inverter ambos os lados:
- Elevar ao quadrado:
- Isolar
:
- Finalmente,
Passo 4
Cálculo numérico (explicando cada operação):
- Primeiro calcular
:
- Em seguida calcular
:
(essa divisão pode ser feita por meio de aproximação ou com calculadora; aqui mostro o valor aproximado suficiente para a precisão final).
- Agora subtrair de
:
- Por fim, tirar a raiz quadrada:
- Arredondando a três casas significativas:
- Como
, obtemos
Passo 5
Interpretação final e dica prática:
- Resultado numérico: a velocidade necessária é cerca de
da velocidade da luz. Ou seja, um acréscimo de na “massa relativística” corresponde a uma velocidade da ordem de . - Dica para a prova: memorize a relação
e saiba isolar como fizemos. Para pequenas porcentagens de aumento na massa, não precisa ser enorme (aqui ~0,3), então um cálculo direto como este resolve rápido.