Qual a velocidade em termos de c entre o sistema em repouso e um sistema relativístico para que a massa medida em um sistema relativístico seja 5 \% maior que a massa em repouso.

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Encontrar a velocidade, em termos de c, entre um sistema em repouso e um sistema em movimento tal que a massa medida no sistema em movimento seja 5\% maior que a massa em repouso.
Informações fornecidas (tiradas do enunciado):
  • Massa relativística (medida no sistema em movimento): m = 1{,}05\,m_0.
  • Massa de repouso: m_0.
  • Queremos v expresso em função de c.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Em relatividade especial, quando se usa o conceito de “massa relativística”, ela se relaciona com a massa de repouso por
m = \gamma\,m_0,
onde m é a massa medida no referencial em que o objeto está se movendo, m_0 é a massa de repouso e \gamma é o fator de Lorentz.
  • O fator de Lorentz \gamma é dado por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui:
  • v é a velocidade relativa entre os dois referenciais (o que queremos encontrar).
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
  • Para simplificar a escrita, definimos \beta=\dfrac{v}{c}. Assim \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}. Nosso objetivo será achar \beta e depois escrever v=\beta c.

Passo 3

Relacionar os dados do enunciado com \gamma:
  • Do enunciado temos m=1{,}05\,m_0. Substituindo na relação m=\gamma m_0 obtemos
\gamma = 1{,}05.
  • Agora escrevemos a equação que relaciona \gamma e \beta:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} = 1{,}05.
  • Vamos isolar \beta (passo a passo, sem pular etapas):
    1. Inverter ambos os lados:
    \sqrt{1-\beta^{2}} = \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{1{,}05}.
    1. Elevar ao quadrado:
    1-\beta^{2} = \frac{1}{\gamma^{2}} = \frac{1}{(1{,}05)^{2}}.
    1. Isolar \beta^{2}:
    \beta^{2} = 1 - \frac{1}{(1{,}05)^{2}}.
    1. Finalmente,
    \beta = \sqrt{\,1 - \frac{1}{(1{,}05)^{2}}\,}.

Passo 4

Cálculo numérico (explicando cada operação):
  • Primeiro calcular (1{,}05)^{2}:
(1{,}05)^{2} = 1{,}1025.
  • Em seguida calcular \dfrac{1}{(1{,}05)^{2}}:
\frac{1}{1{,}1025} \approx 0{,}907029\ldots
(essa divisão pode ser feita por meio de aproximação ou com calculadora; aqui mostro o valor aproximado suficiente para a precisão final).
  • Agora subtrair de 1:
1 - \frac{1}{(1{,}05)^{2}} \approx 1 - 0{,}907029 = 0{,}092971\ldots
  • Por fim, tirar a raiz quadrada:
\beta = \sqrt{0{,}092971\ldots} \approx 0{,}3049\ldots
  • Arredondando a três casas significativas:
\beta \approx 0{,}305.
  • Como \beta=\dfrac{v}{c}, obtemos
v \approx 0{,}305\,c.

Passo 5

Interpretação final e dica prática:
  • Resultado numérico: a velocidade necessária é cerca de 30{,}5\% da velocidade da luz. Ou seja, um acréscimo de 5\% na “massa relativística” corresponde a uma velocidade da ordem de 0{,}3\,c.
  • Dica para a prova: memorize a relação \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^{2}} e saiba isolar \beta como fizemos. Para pequenas porcentagens de aumento na massa, \beta não precisa ser enorme (aqui ~0,3), então um cálculo direto como este resolve rápido.

Resposta

v \approx 0{,}305\,c

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