Para vender por um preço justo sua produção de melancias, um agricultor improvisou a seguinte balança: a melancia é colocada em um cesto, suspenso por um longo fio de nylon. O fio se estica, aumentando seu comprimento de forma proporcional ao peso da melancia. Um segundo fio é também amarrado na cesta e sua outra extremidade é conectada em uma pequena polia, na qual foi fixado um ponteiro, que gira de forma solidária com a polia. Uma escala angular foi desenhada na região descrita pelo movimento da extremidade do ponteiro. O fio estica na proporção de 2,00 mm / kg, porém um erro máximo de até pm 0,05 mm é esperado na deflexão do fio. O conjunto polia/ponteiro amplifica em cinco vezes a deflexão do fio, porém há um erro sistemático constante da ordem de -0,30 mm na extremidade do ponteiro e as folgas dão origem a erros aleatórios cuja repetitividade é de pm 0,20 mm na extremidade do ponteiro. Não há erro sistemático expressivo conjunto ponteiro/escala, mas a repetitividade com que se consegue fazer a leitura é de pm 1 mm. Pergunta-se:
com que incerteza é possível medir uma melancia cuja massa é da ordem de 10 kg ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede e o conteúdo que vamos usar.
– Enunciado em poucas palavras: o agricultor mede a massa de uma melancia pelo esticamento de um fio (2,00 mm/kg), esse esticamento é amplificado 5× por uma polia e ponteiro, mas existem várias fontes de erro:
• Fio: erro máximo de ±0,05 mm na deflexão.
• Polia/ponteiro: erro sistemático fixo de –0,30 mm (que dá pra corrigir por calibração) e erro aleatório de ±0,20 mm.
• Leitura na escala: repetitividade de ±1 mm.
– Matéria: propagação de incertezas (Type A e Type B).
– O que vamos precisar:
  1. Converter cada erro máximo em incerteza padrão (supondo distribuição uniforme).
  2. Amplificar as incertezas do fio pelo fator 5.
  3. Combinar (raiz da soma dos quadrados) as incertezas padrão para ter a incerteza total na deflexão do ponteiro.
  4. Transformar essa incerteza de deflexão em incerteza de massa usando a sensibilidade total (2,00 mm/kg × 5).
  5. Se quisermos a incerteza ampliada (95 %, k = 2), multiplicamos o resultado final por 2.

Passo 2

Listando as incertezas padrão de cada fonte (distribuição uniforme ⇒ divide-se o meio intervalo por √3):
  1. Fio: erro máximo Δx₁ = 0,05 mm ⇒ incerteza padrão antes da amplificação
    u₁₀ = Δx₁/√3 = 0,05/√3 ≃ 0,0289 mm.
    Depois da polia (fator 5):
    u₁ = 5·u₁₀ = 5·0,0289 ≃ 0,1443 mm.
  2. Ponteiro (aleatório): erro máximo Δx₂ = 0,20 mm ⇒
    u₂ = Δx₂/√3 = 0,20/√3 ≃ 0,1155 mm.
  3. Leitura na escala: erro máximo Δx₃ = 1 mm ⇒
    u₃ = Δx₃/√3 = 1/√3 ≃ 0,5774 mm.
Observação: o erro sistemático de –0,30 mm a gente corrige subtraindo essa constante, então não entra como incerteza se fizermos a calibração.

Passo 3

Agora combinamos essas incertezas padrão (somando as variâncias) para obter a incerteza padrão total da deflexão do ponteiro:
ux ;=;raizu1^2 + u2^2 + u3^2 = raiz(0,1443)^2 + (0,1155)^2 + (0,5774)^2;mm simeq 0,6065;mm

Passo 4

Transformamos essa incerteza de deflexão em incerteza de massa. A sensibilidade total S é
S = (2,00;mm/kg)times 5 = 10,0;mm/kg
Logo a incerteza padrão na massa é
um ;=; uxS = 0,6065;mm10,0;mm/kg = 0,06065;kg

Passo 5

Se quisermos dar a incerteza ampliada para 95 % de confiança (k = 2):
U = 2,um = 2times 0,06065 simeq 0,1213;kg

Resposta

A massa de 10 kg da melancia pode ser medida com incerteza aproximada de
±0,12 kg (95 % de confiança).

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