Para vender por um preço justo sua produção de melancias, um agricultor improvisou a seguinte balança: a melancia é colocada em um cesto, suspenso por um longo fio de nylon. O fio se estica, aumentando seu comprimento de forma proporcional ao peso da melancia. Um segundo fio é também amarrado na cesta e sua outra extremidade é conectada em uma pequena polia, na qual foi fixado um ponteiro, que gira de forma solidária com a polia. Uma escala angular foi desenhada na região descrita pelo movimento da extremidade do ponteiro. O fio estica na proporção de
, porém um erro máximo de até
é esperado na deflexão do fio. O conjunto polia/ponteiro amplifica em cinco vezes a deflexão do fio, porém há um erro sistemático constante da ordem de
na extremidade do ponteiro e as folgas dão origem a erros aleatórios cuja repetitividade é de
na extremidade do ponteiro. Não há erro sistemático expressivo conjunto ponteiro/escala, mas a repetitividade com que se consegue fazer a leitura é de
. Pergunta-se:
com que incerteza é possível medir uma melancia cuja massa é da ordem de 10 kg ?
com que incerteza é possível medir uma melancia cuja massa é da ordem de 10 kg ?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede e o conteúdo que vamos usar.
– Enunciado em poucas palavras: o agricultor mede a massa de uma melancia pelo esticamento de um fio (2,00 mm/kg), esse esticamento é amplificado 5× por uma polia e ponteiro, mas existem várias fontes de erro:
• Fio: erro máximo de ±0,05 mm na deflexão.
• Polia/ponteiro: erro sistemático fixo de –0,30 mm (que dá pra corrigir por calibração) e erro aleatório de ±0,20 mm.
• Leitura na escala: repetitividade de ±1 mm.
– Matéria: propagação de incertezas (Type A e Type B).
– O que vamos precisar:
– Enunciado em poucas palavras: o agricultor mede a massa de uma melancia pelo esticamento de um fio (2,00 mm/kg), esse esticamento é amplificado 5× por uma polia e ponteiro, mas existem várias fontes de erro:
• Fio: erro máximo de ±0,05 mm na deflexão.
• Polia/ponteiro: erro sistemático fixo de –0,30 mm (que dá pra corrigir por calibração) e erro aleatório de ±0,20 mm.
• Leitura na escala: repetitividade de ±1 mm.
– Matéria: propagação de incertezas (Type A e Type B).
– O que vamos precisar:
- Converter cada erro máximo em incerteza padrão (supondo distribuição uniforme).
- Amplificar as incertezas do fio pelo fator 5.
- Combinar (raiz da soma dos quadrados) as incertezas padrão para ter a incerteza total na deflexão do ponteiro.
- Transformar essa incerteza de deflexão em incerteza de massa usando a sensibilidade total (2,00 mm/kg × 5).
- Se quisermos a incerteza ampliada (95 %, k = 2), multiplicamos o resultado final por 2.
Passo 2
Listando as incertezas padrão de cada fonte (distribuição uniforme ⇒ divide-se o meio intervalo por √3):
- Fio: erro máximo Δx₁ = 0,05 mm ⇒ incerteza padrão antes da amplificação
u₁₀ = Δx₁/√3 = 0,05/√3 ≃ 0,0289 mm.
Depois da polia (fator 5):
u₁ = 5·u₁₀ = 5·0,0289 ≃ 0,1443 mm. - Ponteiro (aleatório): erro máximo Δx₂ = 0,20 mm ⇒
u₂ = Δx₂/√3 = 0,20/√3 ≃ 0,1155 mm. - Leitura na escala: erro máximo Δx₃ = 1 mm ⇒
u₃ = Δx₃/√3 = 1/√3 ≃ 0,5774 mm.
Observação: o erro sistemático de –0,30 mm a gente corrige subtraindo essa constante, então não entra como incerteza se fizermos a calibração.
Passo 3
Agora combinamos essas incertezas padrão (somando as variâncias) para obter a incerteza padrão total da deflexão do ponteiro:
Passo 4
Transformamos essa incerteza de deflexão em incerteza de massa. A sensibilidade total S é
Logo a incerteza padrão na massa é
Passo 5
Se quisermos dar a incerteza ampliada para 95 % de confiança (k = 2):
Resposta
A massa de 10 kg da melancia pode ser medida com incerteza aproximada de
±0,12 kg (95 % de confiança).
±0,12 kg (95 % de confiança).