Mediu-se a dureza Brinell H B=0,204pi cdot m cdot gD(D-raizD^2-d^2) em [N / mm^2] de uma amostra de aço temperado num durômetro, Sabe-se que a força m g g em [N] foi aplicada em cima da esfera penetradora com diâmetro D em [mm], causando uma marca de penetração com diâmetro d em [mm], medida várias vezes com um microscópio. Foram levantados os seguintes dados experimentais (sendo n= número de medidas individuais):
Massa utilizada m=30 kg com uma incerteza expandida de 1 %, (n=12)
Constante gravitacional no campus da UFMG: g=(9,78 pm 0,02) m / s^2,(n>120)
Diagonal D=1,000 mm com uma incerteza expandida de 0,1 %,(n=6)
Diagonal d=(0,270 pm 0,006) mm,(n=3)
Estime a incerteza padrão u(H B) para esta medição da dureza Brinell.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O exercício pede pra estimar a incerteza padrão em uma medição da dureza Brinell, cujo valor é dado por
HB = 0,204pi;m,gDl(D-raizD^2 - d^2r)
Os dados são:
  • m = 30 kg com incerteza expandida de 1 %
  • g = 9,78 m/s² ± 0,02
  • D = 1,000 mm com incerteza expandida de 0,1 %
  • d = 0,270 mm ± 0,006
    Temos que usar propagação de incertezas (derivadas parciais) e transformar as incertezas expandidas em padrão.

Passo 2

Primeiro calculo o valor nominal de HB = 0,06492;293,40,0371 approx 513,9;N/mm^2 .
  1. Denominador
  2. Constante
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Passo 3

Transformo incertezas expandidas (suponto ) em padrão:
  • (já é padrão, )

Passo 4

Usamos a fórmula da propagação por derivadas parciais:
u(HB) = raiz l(tfracpartial HBpartial mu(m)r)^2 +l(tfracpartial HBpartial gu(g)r)^2 +l(tfracpartial HBpartial Du(D)r)^2 +l(tfracpartial HBpartial du(d)r)^2
Para simplificar, é prático usar a forma relativa via log-diferencial:
u(HB)HB = raiz l(tfracu(m)mr)^2 +l(tfracu(g)gr)^2 +l(tfracpartialln HBpartial D,u(D)r)^2 +l(tfracpartialln HBpartial d,u(d)r)^2

Passo 5

Calculo as sensibilidades relativas:
  1. partialln HBpartial D =-1D-1-tfracDraizD^2-d^2D-raizD^2-d^2 approx 0,0375;mm^-1
  2. partialln HBpartial d =-d(D-raizD^2-d^2),raizD^2-d^2 approx -7,566;mm^-1
→ termo relativo .
4)
→ termo relativo .

Passo 6

Juntando tudo:
u(HB)HB =raiz0,005^2 + 0,00205^2 + (1,9times10^-5)^2 + 0,0227^2 approx 0,0233
Então
u(HB)=0,0233times513,9approx11,98;N/mm^2

Resposta

A incerteza padrão na dureza Brinell é
boxedu(HB)approx12;N/mm^2

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