Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Se
e
são subconjuntos linearmente independentes em um espaço vetorial de dimensão
e
, então
é uma base de
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que se
e
são subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial
de dimensão
e
, então
seria uma base de
. Lembrando que uma base é um conjunto de
vetores que é ao mesmo tempo linearmente independente e que gera todo o espaço.
Passo 2
Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto de
vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar todo o espaço). Logo, basta encontrar um caso em que
tenha
vetores mas seja linearmente dependente para mostrar que a afirmação é falsa em geral.
Passo 3
Use a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
Aqui
e
. Se
, então
isto é, os vetores de
não chegam a gerar todo
(e também não são independentes).
Passo 4
Um contraexemplo simples: considere
,
Aqui
e
. Cada um isoladamente é linearmente independente, mas
mostra que
é linearmente dependente e portanto não forma base.
Resposta
Falso.