Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Se S_{1}=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{k}\right\} e S_{2}=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{l}\right\} são subconjuntos linearmente independentes em um espaço vetorial de dimensão n e k+l=n, então S_{1} \cup S_{2} é uma base de V.

Passo 1

O enunciado afirma que se S_{1}=\{u_{1},\dots,u_{k}\} e S_{2}=\{v_{1},\dots,v_{l}\} são subconjuntos linearmente independentes de um espaço vetorial V de dimensão n e k+l=n, então S_{1}\cup S_{2} seria uma base de V. Lembrando que uma base é um conjunto de n vetores que é ao mesmo tempo linearmente independente e que gera todo o espaço.

Passo 2

Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar todo o espaço). Logo, basta encontrar um caso em que S_{1}\cup S_{2} tenha n vetores mas seja linearmente dependente para mostrar que a afirmação é falsa em geral.

Passo 3

Use a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
\dim\bigl(\Span(S_{1})+\Span(S_{2})\bigr) = \dim \Span(S_{1}) + \dim \Span(S_{2}) - \dim\bigl(\Span(S_{1})\cap \Span(S_{2})\bigr).
Aqui \dim \Span(S_{1})=k e \dim \Span(S_{2})=l. Se \Span(S_{1})\cap \Span(S_{2})\neq\{0\}, então
\dim\bigl(\Span(S_{1})+\Span(S_{2})\bigr) < k + l = n,
isto é, os vetores de S_{1}\cup S_{2} não chegam a gerar todo V (e também não são independentes).

Passo 4

Um contraexemplo simples: considere V=\mathbb{R}^{2},
S_{1}=\{(1,0)\},\quad S_{2}=\{(2,0)\}.
Aqui k=l=1 e k+l=2=\dim V. Cada um isoladamente é linearmente independente, mas
(2,0)=2\,(1,0)
mostra que S_{1}\cup S_{2} é linearmente dependente e portanto não forma base.

Resposta

Falso.

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