Verdadeiro ou falso?
\sqrt{|x|^{2}}=|x|, para todo x real

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para todo número real x, vale a igualdade
\sqrt{\lvert x\rvert^{2}} = \lvert x\rvert.
O conteúdo envolve propriedades de radiciação e valor absoluto.

Passo 2

Recordamos a propriedade geral: para qualquer número real a,
\sqrt{a^{2}} = \lvert a\rvert.
Isso ocorre porque a raiz quadrada sempre retorna um valor não-negativo.

Passo 3

Basta tomar a = \lvert x\rvert. Como \lvert x\rvert\ge0, aplica-se
\sqrt{\lvert x\rvert^{2}} = \lvert\,\lvert x\rvert\,\rvert.
Mas, para todo y\ge0, vale \lvert y\rvert = y. Logo,
\lvert\,\lvert x\rvert\,\rvert = \lvert x\rvert,
e portanto \sqrt{\lvert x\rvert^{2}} = \lvert x\rvert.

Resposta

Verdadeiro.

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