Verdadeiro ou falso?
\sqrt{x^{2}}=x, para todo x real

Passo 1

O enunciado pergunta se vale \sqrt{x^{2}} = x
para todo x\in\mathbb{R}. O conteúdo aqui é a definição de raiz quadrada principal e sua relação com valor absoluto.

Passo 2

Por definição, para qualquer número real x temos
\sqrt{x^{2}} = |x|,
pois a raiz quadrada principal retorna sempre um valor não-negativo cujo quadrado é x^{2}.

Passo 3

Analisando |x| versus x:
  • Se x\ge0, então |x|=x e a igualdade \sqrt{x^{2}}=x é válida.
  • Se x<0, então |x|=-x\neq x, logo \sqrt{x^{2}}\neq x.

Passo 4

Concluímos que a igualdade só é verdadeira quando x\ge0. Para valores negativos de x, ela falha.

Resposta

Falso.

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