É verdadeiro ou falso?
Para todos k in R e |x|<1 temos (1+x)^k=sumn=0^+infty k(k-1) ldots(k-n+1)n! x^n.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está perguntando. A gente tem uma expressão que envolve potências e séries infinitas. O enunciado diz que, para todo número real (1+x)^k = sumn=0^+infty k(k-1) ldots(k-n+1)n! x^n e para , vale que:
Aqui, estamos lidando com Séries de Potências e Teorema Binomial Geral. Para resolver, vamos precisar entender como expandir usando uma série infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Binomial. Você já sabe que, para um expoente inteiro positivo, podemos expandir de forma simples. Mas o que acontece se não for inteiro?
É aí que entra o Teorema Binomial Binomial Geral, que permite expandir para qualquer número real , usando uma série infinita.

Passo 3

A fórmula geral do teorema binomial para qualquer real (1+x)^k = sumn=0^+infty binomkn x^n e binomkn = k(k-1)(k-2)ldots(k-n+1)n! é:
Onde o coeficiente binomial é dado por:
Isso significa que a série infinita está composta por termos que envolvem produtos decrescentes de no numerador e fatorial no denominador.

Passo 4

Comparando com o que foi dado no enunciado:
sumn=0^+infty k(k-1) ldots(k-n+1)n! x^n
Vemos que é exatamente a mesma coisa que a fórmula geral do teorema binomial para .

Passo 5

Portanto, a igualdade apresentada no enunciado está correta conforme o Teorema Binomial Geral, desde que , o que garante a convergência da série.

Resposta

Verdadeiro.

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