Encontre a série de Maclaurin de f(x) usando as séries conhecidas.
f(x) = x cos(x^2 / 2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin é uma forma de expandir funções em potências de em torno de 0. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin da função cosseno, que é uma série conhecida que facilita nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin do cosseno. A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos substituir qualquer expressão no lugar de para obter uma série equivalente.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos substituir por na série que lembramos:

Passo 4

Agora, nossa função é multiplicado por essa série. Vamos fazer essa multiplicação:

Passo 5

Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, elevamos à potência :
Substituindo de volta na série:

Resposta

A série de Maclaurin de é:

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