Verdadeiro
ou falso
, justifique sua resposta.
f) ( Toda matriz simétrica é ortogonal
f) ( Toda matriz simétrica é ortogonal
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos perguntando se “Toda matriz simétrica é ortogonal”. Vamos entender o que são matrizes simétricas e ortogonais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta. Ou seja, uma matriz
é simétrica se
. Por exemplo:
Essa matriz é simétrica porque ao transpor, ela permanece igual.
Passo 3
Agora, uma matriz ortogonal é aquela cuja transposta é igual à sua inversa. Em termos matemáticos,
. Isso também implica que:
onde
é a matriz identidade. Uma propriedade legal das matrizes ortogonais é que elas preservam ângulos e comprimentos, sendo muito usadas em rotações e reflexões.
Passo 4
Vamos analisar se toda matriz simétrica também é ortogonal. Para isso, precisamos verificar se, sendo
simétrica (
), ela também satisfaz
.
Pegando um exemplo simples:
Essa matriz é simétrica porque
. Agora, vamos multiplicar
:
Claramente,
, então
não é ortogonal.
Passo 5
Como encontramos um exemplo de matriz simétrica que não é ortogonal, isso mostra que nem toda matriz simétrica é ortogonal. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todas as matrizes simétricas.
Resposta
Falso. Nem toda matriz simétrica satisfaz a condição de ser ortogonal.