Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
f) ( Toda matriz simétrica é ortogonal

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos perguntando se “Toda matriz simétrica é ortogonal”. Vamos entender o que são matrizes simétricas e ortogonais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta. Ou seja, uma matriz A = 1 & 2 2 & 3 é simétrica se . Por exemplo:
Essa matriz é simétrica porque ao transpor, ela permanece igual.

Passo 3

Agora, uma matriz ortogonal é aquela cuja transposta é igual à sua inversa. Em termos matemáticos, A^T A = I . Isso também implica que:
onde é a matriz identidade. Uma propriedade legal das matrizes ortogonais é que elas preservam ângulos e comprimentos, sendo muito usadas em rotações e reflexões.

Passo 4

Vamos analisar se toda matriz simétrica também é ortogonal. Para isso, precisamos verificar se, sendo A = 2 & 0 0 & 3 simétrica ( A^T A = 2 & 0 0 & 3 2 & 0 0 & 3 = 4 & 0 0 & 9 ), ela também satisfaz .
Pegando um exemplo simples:
Essa matriz é simétrica porque . Agora, vamos multiplicar :
Claramente, , então não é ortogonal.

Passo 5

Como encontramos um exemplo de matriz simétrica que não é ortogonal, isso mostra que nem toda matriz simétrica é ortogonal. Portanto, a afirmação não é verdadeira para todas as matrizes simétricas.

Resposta

Falso. Nem toda matriz simétrica satisfaz a condição de ser ortogonal.

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