Verfique se as funções dadas são contínuas no(s) ponto(s) x_{0} dado(s).
f(x)=\frac{\sqrt{x^{3}-4 x^{2}+3 x}}{\left|x^{2}-3 x+2\right|}, em x_{0}=2 e x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{3}-4x^{2}+3x}}{\left|x^{2}-3x+2\right|}
é contínua nos pontos \,x_{0}=2 e \,x_{0}=1.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A função está definida em termos de uma raiz quadrada no numerador e de um valor absoluto no denominador.
  • Perguntar-se-á, para cada x_{0} indicado, se f é contínua em x_{0}.
  • Para decidir continuidade num ponto é preciso:
    1. verificar se f está definida em x_{0};
    2. calcular (ou verificar) o limite \lim_{x\to x_{0}} f(x) (quando fizer sentido);
    3. concluir que f é contínua em x_{0} se e só se f(x_{0}) existir e igualar ao limite.

Passo 2

Vamos estudar a expressão algébrica para entender o domínio e possíveis simplificações.
  1. Fatore as expressões polinomiais que aparecem.
x^{3}-4x^{2}+3x = x\,(x^{2}-4x+3) = x\,(x-1)(x-3).
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).
Portanto
f(x)=\frac{\sqrt{x\,(x-1)(x-3)}}{|(x-1)(x-2)|}=\frac{\sqrt{x\,(x-1)(x-3)}}{|x-1|\,|x-2|}.
  1. Condições para que f(x) esteja bem definida como número real:
  • O radicando deve ser não negativo: x\,(x-1)(x-3)\ge 0.
  • O denominador não pode ser zero: |x-1|\,|x-2|\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 1,\;x\neq 2.

Passo 3

Faça uma análise de sinais do polinômio p(x)=x(x-1)(x-3) para identificar onde p(x)\ge 0. As raízes são 0,1,3. Testando intervalos:
  • Para x<0: sinais são (-\cdot - \cdot -)= - portanto p(x)<0.
  • Para 0<x<1: sinais (+\cdot - \cdot -)= + portanto p(x)>0.
  • Para 1<x<3: sinais (+\cdot + \cdot -)= - portanto p(x)<0.
  • Para x>3: sinais (+\cdot + \cdot +)= + portanto p(x)>0.
Assim o radicando é não negativo exatamente em [0,1]\cup[3,\infty). Mas lembre que x=1 e x=2 anulam o denominador; portanto o domínio real de f é
\mathcal{D}=\big([0,1]\setminus\{1\}\big)\\ \cup\\ [3,\infty),
ou seja, (0,1)\cup[3,\infty) juntando o ponto 0 (avaliar se 0 está incluído: para x=0 o radicando é zero e o denominador |0-1||0-2|=1\cdot2\neq0, logo 0 pertence ao domínio). Então domínio final:
\mathcal{D}=\{0\}\cup(0,1)\cup[3,\infty)=(0,1)\cup\{0\}\cup[3,\infty).
Observação imediata: os pontos x_{0}=1 e x_{0}=2 não pertencem ao domínio (pois anulariam o denominador). Além disso, x=2 nem está na região onde o radicando é não negativo (pois 2\in(1,3) e aí o radicando é negativo). Isso já dá pistas fortes sobre continuidade nos pontos pedidos.

Passo 4

Análise em x_{0}=2.
  1. Verifique se \,2\in\mathcal{D}. Do item anterior, 2 não pertence ao conjunto onde o radicando é não negativo (pois p(2)=2\cdot1\cdot(-1)=-2<0), logo a raiz não é real em x=2. Além disso o denominador em x=2 seria zero. Conclusão:
  • f(2) não está definida como número real (radicando negativo e denominador zero).
  • Portanto f não é contínua em x_{0}=2 (continuidade exige que a função esteja definida no ponto).
Explicação intuitiva curta: não há nem valor de f(2) na reta real, logo não faz sentido falar em continuidade aí — é descontinuidade por não pertencer ao domínio.

Passo 5

Análise em x_{0}=1.
  1. Verifique se \,1\in\mathcal{D}. Temos o radicando p(1)=1\cdot0\cdot(-2)=0, então a raiz é 0. Mas o denominador |1^{2}-3\cdot1+2|=|0|=0. Logo em x=1 aparece a forma indeterminada 0/0 e, de fato, f(1) não está definida (denominador zero). Portanto f(1) não existe e a função não está definida no ponto.
  2. Mesmo sem f(1), é útil ver o comportamento limite quando x\to1 por pontos do domínio. Observe que, pelo estudo do sinal, valores com x>1 e próximos de 1 (por exemplo x=1{,}01) pertencem ao intervalo (1,3) onde o radicando é negativo; logo não há valores reais de f(x) para x aproximando-se de 1 pela direita — a aproximação só é possível pela esquerda (valores x<1 próximos). Assim só faz sentido calcular o limite lateral pela esquerda. Se o limite lateral pela esquerda for infinito ou não igualar ao valor no ponto (que aqui não existe), não teremos continuidade; para continuidade seria preciso que f(1) existisse e igualasse ao limite.
  3. Calcule o comportamento quando x\to1^{-}. Para x em (0,1) podemos manipular a expressão usando as fatorações:
\sqrt{x\,(x-1)(x-3)}=\sqrt{x\cdot(x-1)\cdot(x-3)}.
Para x<1 temos x-1<0 e x-3<0; sendo assim
(x-1)(x-3) = (-(1-x))\cdot (-(3-x)) = (1-x)(3-x).
Então, para x\in(0,1),
\sqrt{x\,(x-1)(x-3)}=\sqrt{x\,(1-x)(3-x)}.
E o denominador, para x<1, é
|x-1|\,|x-2|=(1-x)(2-x),
pois x-1<0 e x-2<0. Assim, para x\in(0,1),
f(x)=\frac{\sqrt{x\,(1-x)(3-x)}}{(1-x)(2-x)}.
  1. Simplifique a expressão para facilitar o limite. Note que há um fator (1-x) positivo em numerador dentro de uma raiz e um fator (1-x) linear no denominador. Escreva:
f(x)=\frac{\sqrt{x(3-x)}\;\sqrt{1-x}}{(1-x)(2-x)}=\frac{\sqrt{x(3-x)}}{(2-x)\,\sqrt{1-x}}.
Agora avalie o comportamento quando x\to1^{-}:
  • \sqrt{x(3-x)}\to\sqrt{1\cdot 2}=\sqrt{2}.
  • 2-x\to 1.
  • \sqrt{1-x}\to 0^{+}.
Portanto
f(x)\sim \frac{\sqrt{2}}{1\cdot\sqrt{1-x}} \quad\text{quando }x\to1^{-},
isto é, f(x)\to +\infty quando x\to1^{-}. Em palavras: ao aproximar 1 pela esquerda, a função cresce sem limite e tende a +\infty.
  1. Conclusão para x_{0}=1:
  • O limite à esquerda existe mas é infinito: \lim_{x\to1^{-}} f(x)=+\infty.
  • Não há valores de f(x) reais para x próximos a 1 pela direita (o domínio não fornece aproximação pela direita).
  • De qualquer forma, não existe um valor finito L tal que \lim_{x\to1} f(x)=L. Além disso, f(1) não está definido.
  • Logo f não é contínua em x_{0}=1. Este é um tipo de descontinuidade que se manifesta por crescimento não limitado (descontinuidade infinita / assimptótica à esquerda), e o ponto também não pertence ao domínio.

Resposta

f não é contínua em x_{0}=2.\n f não é contínua em x_{0}=1.

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