Verfique se as funções dadas são contínuas no(s) ponto(s)
dado(s).
, em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua nos pontos
e
.
Informações dadas e perguntas claras:
- A função está definida em termos de uma raiz quadrada no numerador e de um valor absoluto no denominador.
- Perguntar-se-á, para cada
indicado, se é contínua em . - Para decidir continuidade num ponto é preciso:
- verificar se
está definida em ; - calcular (ou verificar) o limite
(quando fizer sentido); - concluir que
é contínua em se e só se existir e igualar ao limite.
- verificar se
Passo 2
Vamos estudar a expressão algébrica para entender o domínio e possíveis simplificações.
- Fatore as expressões polinomiais que aparecem.
Portanto
- Condições para que
esteja bem definida como número real:
- O radicando deve ser não negativo:
- O denominador não pode ser zero:
Passo 3
Faça uma análise de sinais do polinômio
para identificar onde
. As raízes são
. Testando intervalos:
- Para
: sinais são portanto . - Para
: sinais portanto . - Para
: sinais portanto . - Para
: sinais portanto .
Assim o radicando é não negativo exatamente em
. Mas lembre que
e
anulam o denominador; portanto o domínio real de
é
ou seja,
juntando o ponto
(avaliar se
está incluído: para
o radicando é zero e o denominador
, logo
pertence ao domínio). Então domínio final:
Observação imediata: os pontos
e
não pertencem ao domínio (pois anulariam o denominador). Além disso,
nem está na região onde o radicando é não negativo (pois
e aí o radicando é negativo). Isso já dá pistas fortes sobre continuidade nos pontos pedidos.
Passo 4
Análise em
.
- Verifique se
. Do item anterior, não pertence ao conjunto onde o radicando é não negativo (pois ), logo a raiz não é real em . Além disso o denominador em seria zero. Conclusão:
-
não está definida como número real (radicando negativo e denominador zero). - Portanto
não é contínua em (continuidade exige que a função esteja definida no ponto).
Explicação intuitiva curta: não há nem valor de
na reta real, logo não faz sentido falar em continuidade aí — é descontinuidade por não pertencer ao domínio.
Passo 5
Análise em
.
-
Verifique se
. Temos o radicando , então a raiz é . Mas o denominador . Logo em aparece a forma indeterminada e, de fato, não está definida (denominador zero). Portanto não existe e a função não está definida no ponto. -
Mesmo sem
, é útil ver o comportamento limite quando por pontos do domínio. Observe que, pelo estudo do sinal, valores com e próximos de (por exemplo ) pertencem ao intervalo onde o radicando é negativo; logo não há valores reais de para aproximando-se de pela direita — a aproximação só é possível pela esquerda (valores próximos). Assim só faz sentido calcular o limite lateral pela esquerda. Se o limite lateral pela esquerda for infinito ou não igualar ao valor no ponto (que aqui não existe), não teremos continuidade; para continuidade seria preciso que existisse e igualasse ao limite. -
Calcule o comportamento quando
. Para em podemos manipular a expressão usando as fatorações:
Para
temos
e
; sendo assim
Então, para
,
E o denominador, para
, é
pois
e
. Assim, para
,
- Simplifique a expressão para facilitar o limite. Note que há um fator
positivo em numerador dentro de uma raiz e um fator linear no denominador. Escreva:
Agora avalie o comportamento quando
:
-
. -
. -
.
Portanto
isto é,
quando
. Em palavras: ao aproximar 1 pela esquerda, a função cresce sem limite e tende a
.
- Conclusão para
:
- O limite à esquerda existe mas é infinito:
. - Não há valores de
reais para próximos a pela direita (o domínio não fornece aproximação pela direita). - De qualquer forma, não existe um valor finito
tal que . Além disso, não está definido. - Logo
não é contínua em . Este é um tipo de descontinuidade que se manifesta por crescimento não limitado (descontinuidade infinita / assimptótica à esquerda), e o ponto também não pertence ao domínio.