Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}. f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { se } x<3 \\\ A x^{2}+B, & \text { se } 3 \leq x<7 \\\ x+5, & \text { se } x \geq 7\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações fornecidas:
Para x<3: \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}.
Para 3\leq x<7: \displaystyle f(x)=A x^{2}+B.
Para x\geq7: \displaystyle f(x)=x+5.
Pontos onde a continuidade pode falhar (troca de definição das peças): x=3 e x=7. A função é composta por expressões que são contínuas em seus domínios (racional com cancelamento, polinômio e função afim), então só é preciso verificar continuidade nesses pontos de fronteira.
Passo 2
Conceito importante (aula curta): uma função g é contínua em um ponto c se, e somente se:
o limite à esquerda \displaystyle \lim_{x\to c^-} g(x) existe;
o limite à direita \displaystyle \lim_{x\to c^+} g(x) existe;
os dois limites são iguais e iguais ao valor da função em c: \displaystyle \lim_{x\to c^-} g(x)=\lim_{x\to c^+} g(x)=g\text{(c)}.
Para funções por partes, verifica-se os limites laterais usando a peça correspondente de cada lado e exige-se que coincidam com o valor atribuído no ponto (ou com o valor da peça que contém o ponto, se estiver incluído).
Passo 3
Simplificar a expressão para x<3 (essa simplificação é válida para todo x\neq3; aqui consideramos x<3 então é válida):
x^{2}-9=(x-3)(x+3),
portanto, para x<3,
\frac{x^{2}-9}{x-3}=x+3.
Observação: a expressão original tem aparente indeterminação em x=3, mas para x<3 a função coincide com a função linear x+3, que é contínua em toda reta. Assim, à esquerda de 3 a função vale x+3 e tende para 6 quando x\to3^-.
Conclusão parcial: só precisamos impor continuidade em x=3 e x=7.
Passo 4
Continuidade em x=3.
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-} (x+3)=3+3=6.
(Usei que peguei a expressão x+3 a partir da simplificação da primeira peça.)
Valor no ponto x=3: como a peça do meio é válida para 3\leq x<7, temos
f(3)=A\cdot 3^{2}+B=9A+B.
Para continuidade em x=3 exige-se
9A+B=6.
Essa é a primeira equação que relaciona A e B.
Passo 5
Continuidade em x=7.
Valor no ponto x=7 dado pela terceira peça (pois x\geq7):
f(7)=7+5=12.
Limite pela esquerda em 7 (usando a peça do meio):
\lim_{x\to 7^-} f(x)=\lim_{x\to 7^-} (A x^{2}+B)=A\cdot 7^{2}+B=49A+B.
Para continuidade em x=7 exige-se
49A+B=12.
Essa é a segunda equação.
Passo 6
Resolver o sistema linear formado pelas duas equações:
Verificação rápida (para garantir que foi tudo certo):
Em x=3: 9A+B=9\cdot\frac{3}{20}+\frac{93}{20}=\frac{27+93}{20}=\frac{120}{20}=6, coincide com limite à esquerda.
Em x=7: 49A+B=49\cdot\frac{3}{20}+\frac{93}{20}=\frac{147+93}{20}=\frac{240}{20}=12, coincide com valor da peça x+5 em 7.
Portanto os valores encontrados garantem continuidade em ambos os pontos e, como as outras peças são contínuas internamente, a função fica contínua em \mathbb{R}.