1. Verifica se os números reaís propostos, x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2} e x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, são raízes do polinómio p(x)=x^{4}-10 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os números reais \displaystyle x_{1} = \sqrt{3} + \sqrt{2} e \displaystyle x_{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}
são raízes do polinómio
p(x) = x^{4} - 10\,x + 1.
O conteúdo aqui é substituição direta no polinómio e simplificação usando identidades de radicais.

Passo 2

Para testar \,x_{1}, começamos por calcular \,x_{1}^{2} e \,x_{1}^{4}:
x_{1}^{2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2} = 3 + 2 + 2\sqrt{3}\,\sqrt{2} = 5 + 2\sqrt{6}.
Elevando ao quadrado de novo,
x_{1}^{4} = (x_{1}^{2})^{2} = (5 + 2\sqrt{6})^{2} = 25 + 2\cdot5\cdot2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^{2} = 25 + 20\sqrt{6} + 24 = 49 + 20\sqrt{6}.

Passo 3

Agora calculamos
p(x_{1}) = x_{1}^{4} - 10\,x_{1} + 1 = \bigl(49 + 20\sqrt{6}\bigr) - 10\bigl(\sqrt{3} + \sqrt{2}\bigr) + 1 = 50 + 20\sqrt{6} - 10\sqrt{3} - 10\sqrt{2}.
Fatorando 10:
p(x_{1}) = 10\bigl(5 + 2\sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{2}\bigr).
Como
5 + 2\sqrt{6} \approx 5 + 4,898 = 9,898 \quad\text{e}\quad \sqrt{3} + \sqrt{2} \approx 1,732 + 1,414 = 3,146,
vemos que o parêntesis não é nulo. Logo p(x_{1})\neq 0, isto é, x_{1} não é raiz.

Passo 4

Para \,x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2} temos
x_{2}^{2} = ( \sqrt{3} - \sqrt{2} )^{2} = 3 + 2 - 2\sqrt{6} = 5 - 2\sqrt{6},
x_{2}^{4} = (5 - 2\sqrt{6})^{2} = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}.
Então
p(x_{2}) = x_{2}^{4} - 10\,x_{2} + 1 = \bigl(49 - 20\sqrt{6}\bigr) - 10\bigl(\sqrt{3} - \sqrt{2}\bigr) + 1 = 50 - 20\sqrt{6} - 10\sqrt{3} + 10\sqrt{2},
p(x_{2}) = 10\bigl(5 - 2\sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2}\bigr).
Novamente o parêntesis é diferente de zero, logo p(x_{2})\neq 0 e x_{2} não é raiz.

Resposta

Nenhum dos valores \,x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2} nem \,x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2} é raiz do polinómio \,p(x)=x^{4}-10x+1.

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