Verifica se são limitadas as sucessões:
x_{n}=4 n-3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sucessão \bigl(x_{n}\bigr) dada por
x_{n} = 4n - 3
é limitada. O conteúdo é sucessões numéricas e o que precisamos é a definição de sequência limitada (existência de cotas superior e inferior).

Passo 2

Recordando a definição: uma sucessão \bigl(x_{n}\bigr) é limitada se existem constantes m e M tais que, para todo n em \mathbb{N},
m \le x_{n} \le M.
Em outras palavras, todos os termos da sequência ficam entre duas cotas fixas.

Passo 3

Analisando um limite inferior: para n\ge1,
x_{n} = 4n - 3 \ge 4\cdot1 - 3 = 1.
Logo podemos tomar m = 1 como uma cota inferior, pois x_{n}\ge1 para todo n.

Passo 4

Agora, para verificar se há cota superior, suponha que exista um M tal que x_{n}\le M para todo n. Mas como
x_{n} = 4n - 3
cresce sem limite quando n\to\infty, dado qualquer M podemos escolher
n > \frac{M+3}{4}
e obter x_{n} = 4n-3 > M. Assim não existe M que funcione para todos os n.

Resposta

A sucessão \bigl(x_{n}\bigr) não é limitada (não há cota superior).

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