Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para vec{f} e o valor da integral \int_{(0,0,0)}^{(a, b, c)} \vec{f} \cdot d \vec{r}, onde a, b, c \in \mathbb{R}.
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)}\left[2 x \operatorname{sen} z d x+\left(z^{3}-e^{y}\right) d y+\right.\left.\left(x^{2} \cos z+3 y z^{2}\right) d z\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{f}(x,y,z)=\bigl(2x\sin z,\;z^{3}-e^{y},\;x^{2}\cos z+3yz^{2}\bigr)
e pede para verificar se ele é conservativo, encontrar uma potencial \varphi e calcular
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)}\vec{f}\cdot d\vec r.
O conteúdo usado será teste de conservatividade via rotacional, construção de função potencial e uso de \displaystyle\int_C\vec f\cdot d\vec r=\varphi(P_{\rm final})-\varphi(P_{\rm inicial}).

Passo 2

Calculamos o rotacional \nabla\times\vec f. Denotando \vec f=(f_x,f_y,f_z):
  1. \dfrac{\partial f_z}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}\cos z+3yz^{2})=3z^{2}.
  2. \dfrac{\partial f_y}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(z^{3}-e^{y})=3z^{2}.
  3. \dfrac{\partial f_x}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2x\sin z)=2x\cos z.
  4. \dfrac{\partial f_z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}\cos z+3yz^{2})=2x\cos z.
  5. \dfrac{\partial f_y}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial f_x}{\partial y}=0.
    Como todas as componentes do rotacional são zero, \nabla\times\vec f=\vec0, o campo é conservativo em \mathbb R^3.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2x\sin z,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=z^{3}-e^{y},\quad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=x^{2}\cos z+3yz^{2}.
Integramos a primeira condição em x:
\varphi(x,y,z)=\int 2x\sin z\,dx = x^{2}\sin z + h(y,z).
Derivando em y e igualando a f_y
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial h}{\partial y} =z^{3}-e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h(y,z)=y\,z^{3}-e^{y}+g(z).
Então
\varphi(x,y,z)=x^{2}\sin z + y\,z^{3}-e^{y}+g(z).
Finalmente derivamos em z e igualamos a f_z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} =x^{2}\cos z + 3yz^{2}+g'(z) \stackrel{!}{=}x^{2}\cos z+3yz^{2} \quad\Longrightarrow\quad g'(z)=0.
Assim, tomando a constante de integração zero, escolhemos
\boxed{\varphi(x,y,z)=x^{2}\sin z + y\,z^{3}-e^{y}.}

Passo 4

Como \vec f é conservativo,
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)}\vec f\cdot d\vec r =\varphi(1,2,3)-\varphi(1,1,1).
Calculamos cada valor:
\varphi(1,2,3) =1^{2}\sin 3 + 2\cdot 3^{3}-e^{2} =\sin 3 + 54 - e^{2},
\varphi(1,1,1) =1^{2}\sin 1 + 1\cdot 1^{3}-e =\sin 1 +1 - e.
Logo,
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)}\vec f\cdot d\vec r =(\sin 3 + 54 - e^{2}) - (\sin 1 +1 - e) =53 + \sin 3 - \sin 1 + e - e^{2}.

Resposta

A campo é conservativo, com potencial
\varphi(x,y,z)=x^{2}\sin z + y\,z^{3}-e^{y},
e
\int_{(1,1,1)}^{(1,2,3)}\vec f\cdot d\vec r =53 + \sin 3 - \sin 1 + e - e^{2}.

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