Verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para
e o valor da integral
, onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo, encontrar uma potencial
e calcular
O conteúdo usado será teste de conservatividade via rotacional, construção de função potencial e uso de
.
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Denotando
:
-
-
-
-
-
e
Como todas as componentes do rotacional são zero,, o campo é conservativo em .
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos a primeira condição em
:
Derivando em
e igualando a
dá
Então
Finalmente derivamos em
e igualamos a
:
Assim, tomando a constante de integração zero, escolhemos
Passo 4
Como
é conservativo,
Calculamos cada valor:
Logo,
Resposta
A campo é conservativo, com potencial
e