Verificar se a função dada é uma solução da equação diferencial.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 e y=x e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y(x)=x\,e^{x}
é solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=0.
Para isso vamos usar a regra do produto para derivar e depois substituir na equação.

Passo 2

Calculando a primeira derivada por regra do produto:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{x}\bigr) =e^{x}+x\,e^{x} =e^{x}(1+x).
Agora derivamos novamente para obter y'':
y''=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(1+x)\bigr) =e^{x}(1+x)+e^{x} =e^{x}(2+x).

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na expressão
L = y''-2y'+y.
Temos
L = e^{x}(2+x)-2\,e^{x}(1+x)+x\,e^{x} = e^{x}\bigl(2+x-2-2x+x\bigr) = e^{x}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Como a combinação y''-2y'+y fica identicamente zero para toda x, concluímos que y(x)=x\,e^{x} satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim.

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