Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
y^{(4)}+x y^{\prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0
y^{(4)}+x y^{\prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial
quanto à ordem, ao grau e à linearidade. Para isso, vamos usar os critérios:
– ordem: maior índice de derivada;
– grau: maior expoente em que a maior derivada aparece, após escrever a equação em forma polinomial nas derivadas;
– linearidade: verifica se e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre elas nem funções não lineares de
).
– ordem: maior índice de derivada;
– grau: maior expoente em que a maior derivada aparece, após escrever a equação em forma polinomial nas derivadas;
– linearidade: verifica se
Passo 2
Ordem: o termo de maior derivada é
, logo a equação é de quarta ordem.
Portanto, ordem .
Portanto, ordem
Passo 3
Grau: ao reescrever a equação como polinômio nas derivadas não aparecem potências superiores a 1 em nenhuma derivada (o termo
não envolve derivadas).
Logo, grau .
Logo, grau
Passo 4
Linearidade: há o termo
, que é uma função não linear de
. Isso quebra a condição de linearidade (que exigiria que
e suas derivadas aparecessem apenas em termos como constantes vezes
).
Portanto, a equação é não linear.
Portanto, a equação é não linear.
Resposta
ordem 4, grau 1, não linear.