Classifique as equações diferenciais abaixo quanto à ordem, grau e linearidade.
y^{(4)}+x y^{\prime \prime}+x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+\operatorname{sen} y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
y^{(4)} + x\,y'' + x^{2}y'' - x\,y' + \sin y = 0
quanto à ordem, ao grau e à linearidade. Para isso, vamos usar os critérios:
– ordem: maior índice de derivada;
– grau: maior expoente em que a maior derivada aparece, após escrever a equação em forma polinomial nas derivadas;
– linearidade: verifica se y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre elas nem funções não lineares de y).

Passo 2

Ordem: o termo de maior derivada é y^{(4)}, logo a equação é de quarta ordem.
Portanto, ordem =4.

Passo 3

Grau: ao reescrever a equação como polinômio nas derivadas não aparecem potências superiores a 1 em nenhuma derivada (o termo \sin y não envolve derivadas).
Logo, grau =1.

Passo 4

Linearidade: há o termo \sin y, que é uma função não linear de y. Isso quebra a condição de linearidade (que exigiria que y e suas derivadas aparecessem apenas em termos como constantes vezes y^{(k)}).
Portanto, a equação é não linear.

Resposta

ordem 4, grau 1, não linear.

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