Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^-1 AP.
A=[rrr1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2
e pede para verificar se ela é diagonalizável.
O conteúdo envolve achar o polinômio característico de A, determinar seus autovalores lambda e, para cada lambda, encontrar autovetores não nulos. Se obtivermos três autovetores linearmente independentes em R^3, conclui-se que A é diagonalizável. Em seguida montamos a matriz P cujas colunas são esses autovetores e calculamos P^-1AP.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
det(A-lambda I) = 1-lambda & 2 & 1 -1 & 3-lambda & 1 0 & 2 & 2-lambda
Expandindo pela primeira linha, obtemos
(1-lambda)l((3-lambda)(2-lambda)-2cdot1r) -2l((-1)(2-lambda)-1cdot0r) +1l((-1)cdot2-(3-lambda)cdot0r)
Fazendo as contas, fica
-(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)=0,
logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3,
todos distintos.

Passo 3

Para resolvemos , ou seja
Dessas equações vem e , ou seja . Tomando , um autovetor correspondente é

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
Dessas equações segue e . Tomando , escolhemos

Passo 5

Para resolvemos , ou seja
Dessas equações vem e , logo . Tomando , obtemos

Passo 6

Como obtivemos três autovetores linearmente independentes, concluímos que A é diagonalizável.
Montamos a matriz de passagem P colocando v1,v2,v3 como colunas, na ordem dos autovalores 1,2,3:
P = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 2
Então a matriz diagonal
D = P^-1AP
é simplesmente
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Um possível P e o produto P^-1AP são
P = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 2 , P^-1AP = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

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