Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular .
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2
e pede para verificar se ela é diagonalizável.
O conteúdo envolve achar o polinômio característico de A, determinar seus autovalores lambda e, para cada lambda, encontrar autovetores não nulos. Se obtivermos três autovetores linearmente independentes em R^3, conclui-se que A é diagonalizável. Em seguida montamos a matriz P cujas colunas são esses autovetores e calculamos P^-1AP.
Dessas equações vem e , ou seja . Tomando , um autovetor correspondente é
Passo 4
Para resolvemos , ou seja
Dessas equações segue e . Tomando , escolhemos
Passo 5
Para resolvemos , ou seja
Dessas equações vem e , logo . Tomando , obtemos
Passo 6
Como obtivemos três autovetores linearmente independentes, concluímos que A é diagonalizável.
Montamos a matriz de passagem P colocando v1,v2,v3 como colunas, na ordem dos autovalores 1,2,3:
P = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 2
Então a matriz diagonal
D = P^-1AP
é simplesmente
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Resposta
A matriz A é diagonalizável. Um possível P e o produto P^-1AP são