Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^-1 AP.
A=[rr5 & -1 1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 5 & -1 [6pt] 1 & 3
é diagonalizável. Para isso, vamos usar a teoria de diagonalização, que diz que A é diagonalizável se existe uma base de R^2 (ou C^2) formada por autovetores de A. Precisamos então achar o polinômio característico, seus autovalores e o espaço próprio correspondente (autovetores).]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A como
p(lambda)=det(A - lambda I) =det5-lambda & -1 [4pt] 1 & 3-lambda =(5-lambda)(3-lambda)+1 =lambda^2 -8lambda +16
Resolvendo p(lambda)=0 obtém-se
lambda^2 -8lambda +16=0 Longrightarrow lambda=4
com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Agora achamos o espaço próprio para .
Resolvemos
Isso dá a equação , logo
O espaço próprio é de dimensão , ou seja, a multiplicidade geométrica de é .]

Passo 4

Para diagonalizar A precisaríamos de dois autovetores linearmente independentes em R^2, isto é, a soma das dimensões dos espaços próprios deve ser 2. Aqui o único autovalor lambda=4 tem multiplicidade algébrica 2 porém multiplicidade geométrica 1.
Como 1<2, não há base de autovetores de tamanho 2.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável.

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