Verificar quais das matrizes são inversíveis e determinar as respectivas inversas.
\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\\\ 10 & 6 & 10 \\\\ 4 & 5 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para testarmos se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\[6pt] 10 & 6 & 10 \\[6pt] 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}
é invertível e, caso seja, determinar A^{-1}. O conteúdo que vamos usar é o cálculo do determinante para verificar invertibilidade e, se for diferente de zero, usar a matriz adjunta (ou método de Gauss) para obter a inversa.]

Passo 2

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 10\\\ 5 & 2\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}10 & 10\\\ 4 & 2\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}10 & 6\\\ 4 & 5\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}6 & 10\\\ 5 & 2\end{pmatrix} =6\cdot2 - 10\cdot5 = 12 - 50 = -38,
\det\begin{pmatrix}10 & 10\\\ 4 & 2\end{pmatrix} =10\cdot2 - 10\cdot4 = 20 - 40 = -20,
\det\begin{pmatrix}10 & 6\\\ 4 & 5\end{pmatrix} =10\cdot5 - 6\cdot4 = 50 - 24 = 26.
Substituindo em \det(A):
\det(A) = 1\cdot(-38) -(-2)\cdot(-20) + 3\cdot26 = -38 - 40 + 78 = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0, concluímos que a matriz não é invertível. Se o determinante é zero, não existe matriz inversa.

Resposta

A matriz não é invertível, logo não existe A^{-1}.

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