verificar que qualquer membro da família dada é uma solução da EDO linear no intervalo I. Encontrar, se possível, a única solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
; família:
em
condições iniciais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Enunciado (equação diferencial):
- Família proposta (para verificar):
com constantes
.
-
Intervalo:
. -
Condições iniciais (para achar a solução única, se existir):
Perguntas claras:
- Verificar que qualquer membro da família dada é uma solução da EDO em
. - Encontrar, se possível, a única solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Para EDO linear com coeficientes contínuos, as soluções gerais podem ser obtidas somando a solução geral da equação homogênea (chamada
) e uma solução particular . Isso decorre do princípio da superposição: se é o operador linear , então . - Para achar
resolvemos o polinômio característico associado à parte homogênea . Explico passo a passo.
Polinômio característico:
As raízes são:
-
(raiz real simples), - as raízes da quadrática
são .
Regra prática (explicação):
- Cada raiz real simples
dá termo em . - Cada par de raízes complexas conjugadas
dá termos .
Aplicando aqui, obtemos
que coincide exatamente com a parte homogenea da família dada. Então a parte
é a solução geral da equação homogênea.
Passo 3
Verificar que
é uma solução particular (calculemos
):
Calcule derivadas de
:
Agora aplicamos o operador linear:
Agrupando termos:
Isto é exatamente o lado direito da EDO. Portanto
é uma solução particular da EDO.
Passo 4
Conclusão da verificação (juntando as peças):
- Mostramos que a parte
resolve a equação homogênea . - Mostramos que
resolve .
Pelo princípio da superposição, qualquer somasatisfaz
Portanto qualquer membro da família dada é realmente uma solução da EDO em todo
.
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
. Para isso precisamos de
da solução geral
onde, para simplificar, escrevo
e
.
Vamos derivar a parte
de forma sistemática (uso a regra:
):
Defina
. Então
Logo
Derivando novamente, defina
. Então
Portanto
Calculando
:
Agrupando termos em
e
:
Logo
Não precisamos do
para as condições iniciais (temos condições até segunda derivada), então basta isso. Derivadas da parte particular
são
Agora avaliamos em
. Observações úteis:
.
Calcule
:
A condição
dá:
Calcule
(somando
e
):
A condição
dá:
Calcule
:
A condição
dá:
Agora resolvemos as equações lineares simples:
- De (3):
. - De (2):
implica . - De (1):
implica .
Portanto
Passo 6
Unicidade da solução: por um teorema padrão de existência e unicidade para EDO lineares de ordem
com coeficientes contínuos (aqui constantes), as condições iniciais
determinam de maneira única a solução em todo o intervalo
. Assim a solução encontrada é única.