verificar que qualquer membro da família dada é uma solução da EDO linear no intervalo I. Encontrar, se possível, a única solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
x^{2} y^{\prime \prime}-20 y=0; família: y=C_{1} x^{5}+\frac{C_{2}}{x^{4}} \quad em \quad I=(0, \infty) condições iniciais: y(1)=4 ; y^{\prime}(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede duas coisas: verificar que toda função da família dada é solução no intervalo I=(0,\infty) e, se possível, encontrar a única solução que satisfaça as condições iniciais. Dados fornecidos:
\text{EDO: }x^{2}y''-20y=0,
\text{família: }y=C_{1}x^{5}+\frac{C_{2}}{x^{4}},í
\text{intervalo: }I=(0,\infty),
\text{condições iniciais: }y(1)=4,\quad y'(1)=2.çõ
As perguntas explícitas: (1) verificar que qualquer membro dessa família satisfaz a EDO em I; (2) encontrar, se existir e for única, a solução que atende y(1)=4 e y'(1)=2.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y. Lembre-se da regra do poder (power rule): para x^{n} temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando isso termo a termo, com constantes multiplicativas:
y=C_{1}x^{5}+C_{2}x^{-4}.
Derivando uma vez:
y' = 5C_{1}x^{4}-4C_{2}x^{-5}.
Derivando novamente (aplicando de novo a regra do poder):
y'' = 20C_{1}x^{3}+20C_{2}x^{-6}.

Passo 3

Agora substituímos y e y'' na expressão da EDO para verificar se ela é satisfeita:
x^{2}y''-20y = x^{2}\bigl(20C_{1}x^{3}+20C_{2}x^{-6}\bigr)-20\bigl(C_{1}x^{5}+C_{2}x^{-4}\bigr).
Multiplicando x^{2} nos termos:
=20C_{1}x^{5}+20C_{2}x^{-4}-20C_{1}x^{5}-20C_{2}x^{-4}.
Os termos cancelam:
=0.
Portanto, para quaisquer constantes C_{1},C_{2} e para todo x\in(0,\infty), a expressão da EDO é satisfeita. Concluímos que qualquer membro da família é realmente uma solução da EDO em I.

Passo 4

Para justificar que essa família representa a solução geral (e assim podermos buscar a solução única para as condições iniciais), convém mostrar que as duas funções independentes y_{1}(x)=x^{5} e y_{2}(x)=x^{-4} são linearmente independentes. Um teste simples é o wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{2}y_{1}'.
Calculando:
y_{1}=x^{5},\quad y_{1}'=5x^{4},\quad y_{2}=x^{-4},\quad y_{2}'=-4x^{-5}.
Logo
W(x)=x^{5}\cdot(-4x^{-5})-x^{-4}\cdot(5x^{4})=-4-5=-9.
Como W(x)=-9\neq 0 para todo x\in(0,\infty), as soluções são linearmente independentes e a combinação linear com C_{1},C_{2} descreve a solução geral da EDO no intervalo I. Isso também garante que o problema de valor inicial tem solução única (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares) quando os coeficientes são contínuos em I. (Observação rápida: ao escrever a EDO na forma padrão colocamos y''-\dfrac{20}{x^{2}}y=0, e -\dfrac{20}{x^{2}} é contínuo em (0,\infty).)]

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Avaliando y e y' em x=1:
y(1)=C_{1}\cdot 1^{5}+C_{2}\cdot 1^{-4}=C_{1}+C_{2}=4,
y'(1)=5C_{1}\cdot 1^{4}-4C_{2}\cdot 1^{-5}=5C_{1}-4C_{2}=2.
Temos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=4,\\[4pt] 5C_{1}-4C_{2}=2. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema por substituição. Da primeira equação:
C_{2}=4-C_{1}.
Substituindo na segunda:
5C_{1}-4(4-C_{1})=2.
Calculando os termos:
5C_{1}-16+4C_{1}=2 \quad\Rightarrow\quad 9C_{1}=18.
Portanto
C_{1}=2.
E daí
C_{2}=4-C_{1}=4-2=2.

Passo 7

Concluímos que existe uma solução que satisfaz as condições iniciais e que ela é única. Substituindo os valores de C_{1} e C_{2} na família, obtemos a solução particular:
y(x)=2x^{5}+\frac{2}{x^{4}}.
É a única solução do problema de valor inicial em I=(0,\infty).

Resposta

y(x)=2x^{5}+\dfrac{2}{x^{4}}

Exercícios relacionados