verificar que qualquer membro da família dada é uma solução da EDO linear no intervalo I. Encontrar, se possível, a única solução que satisfaz as condições iniciais dadas. x^{2} y^{\prime \prime}-20 y=0; família: y=C_{1} x^{5}+\frac{C_{2}}{x^{4}} \quad em \quad I=(0, \infty) condições iniciais: y(1)=4 ; y^{\prime}(1)=2
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede duas coisas: verificar que toda função da família dada é solução no intervalo I=(0,\infty) e, se possível, encontrar a única solução que satisfaça as condições iniciais. Dados fornecidos:
\text{EDO: }x^{2}y''-20y=0,
\text{família: }y=C_{1}x^{5}+\frac{C_{2}}{x^{4}},
\text{intervalo: }I=(0,\infty),
\text{condições iniciais: }y(1)=4,\quad y'(1)=2.
As perguntas explícitas: (1) verificar que qualquer membro dessa família satisfaz a EDO em I; (2) encontrar, se existir e for única, a solução que atende y(1)=4 e y'(1)=2.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de y. Lembre-se da regra do poder (power rule): para x^{n} temos \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando isso termo a termo, com constantes multiplicativas:
y=C_{1}x^{5}+C_{2}x^{-4}.
Derivando uma vez:
y' = 5C_{1}x^{4}-4C_{2}x^{-5}.
Derivando novamente (aplicando de novo a regra do poder):
y'' = 20C_{1}x^{3}+20C_{2}x^{-6}.
Passo 3
Agora substituímos y e y'' na expressão da EDO para verificar se ela é satisfeita:
Portanto, para quaisquer constantes C_{1},C_{2} e para todo x\in(0,\infty), a expressão da EDO é satisfeita. Concluímos que qualquer membro da família é realmente uma solução da EDO em I.
Passo 4
Para justificar que essa família representa a solução geral (e assim podermos buscar a solução única para as condições iniciais), convém mostrar que as duas funções independentes y_{1}(x)=x^{5} e y_{2}(x)=x^{-4} são linearmente independentes. Um teste simples é o wronskiano:
Como W(x)=-9\neq 0 para todo x\in(0,\infty), as soluções são linearmente independentes e a combinação linear com C_{1},C_{2} descreve a solução geral da EDO no intervalo I. Isso também garante que o problema de valor inicial tem solução única (teorema de existência e unicidade para EDOs lineares) quando os coeficientes são contínuos em I. (Observação rápida: ao escrever a EDO na forma padrão colocamos y''-\dfrac{20}{x^{2}}y=0, e -\dfrac{20}{x^{2}} é contínuo em (0,\infty).)]
Passo 5
Agora impomos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Avaliando y e y' em x=1:
Concluímos que existe uma solução que satisfaz as condições iniciais e que ela é única. Substituindo os valores de C_{1} e C_{2} na família, obtemos a solução particular:
y(x)=2x^{5}+\frac{2}{x^{4}}.
É a única solução do problema de valor inicial em I=(0,\infty).