Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde C in R é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
g) e^y y^2(x+1)=C Rightarrow d yd x=y(x+1)(y+2) ; r (su>=stão: aplicar ln em ambos os membros da relação solução) ãçãçã;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me mandou. A gente tem uma relação dada:
e^y y^2(x+1) = C
E uma equação diferencial ordinária (EDO):
dydx = y(x+1)(y+2)
O objetivo aqui é verificar se essa relação é realmente uma solução geral dessa EDO. Pra isso, vamos seguir alguns passos usando conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma solução geral de uma EDO. Basicamente, é uma relação que envolve uma ou mais constantes (no caso, ) que satisfaz a equação diferencial para qualquer valor dessas constantes.

Passo 3

Para verificar se a relação dada é uma solução da EDO, precisamos derivar a relação em relação a e^y y^2(x+1) = C e ver se chegamos à expressão da EDO.
Começamos com:
ln(e^y y^2(x+1)) = ln(C)
Vamos aplicar o logaritmo natural ( ) em ambos os lados para simplificar a derivação:

Passo 4

Agora, usamos propriedades dos logaritmos para separar os termos:
ln(e^y) + ln(y^2) - ln(x+1) = ln(C)
Simplificando:
y + 2ln(y) - ln(x+1) = ln(C)

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a ddx(y + 2ln(y) - ln(x+1)) = ddx(ln(C)) . Lembre-se que dydx + 2 cdot 1y cdot dydx - 1x+1 = 0 é uma função de , então usamos a regra da cadeia:
Derivando termo a termo:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
dydx (1 + 2y) = 1x+1
Fatorando dydx = 1(x+1)(1 + 2y) = y(x+1)(y + 2) :

Passo 7

Observe que a derivada que obtivemos:
dydx = y(x+1)(y + 2)
É exatamente a mesma que foi dada na EDO original.

Resposta

Sim, a relação é uma solução geral da EDO , pois ao derivar a relação e simplificar, chegamos exatamente à expressão da EDO apresentada.

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