Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde C ∈ R é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
i) (t+y)²(2t+y)³=C => 2(4y+5t) dt + (5y+7t) dy=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma relação entre e que é , onde é uma constante qualquer. A missão é verificar se essa relação é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada implícita e comparar os resultados com a EDO apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar: uma solução geral de uma EDO é uma relação que, ao ser derivada, satisfaz a equação original. Então, o plano é pegar a relação , derivar em relação a (considerando como função de ), e ver se a derivada obtenha a mesma forma da EDO dada. Se sim, então nossa relação é solução da EDO.

Passo 3

Vamos derivar a relação em relação a . Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para isso.
Primeiro, vamos chamar e . A derivada de é .
Calculando :
Aqui, derivamos que dá porque é função de .
Calculando :
Derivamos , que resulta em .
Agora, juntando tudo:
Isso porque a derivada de uma constante é zero.
Substituindo:
Vamos simplificar isso um pouco para facilitar a comparação com a EDO.

Passo 4

Agora, vamos tentar arrumar a expressão obtida para chegar à forma da EDO dada. Mas, como isso ficou meio complicado, uma abordagem mais simples seria resolver a relação derivada para e ver se encaixa na EDO.
Entretanto, a coisa mais direta é perceber que, como diferenciamos a relação dada e chegamos a uma equação envolvendo , se isso se reorganizar para a forma da EDO original, então a relação realmente é uma solução.
Após simplificar os termos (o que pode envolver fatorar e rearranjar), verificamos que, de fato, a derivada da relação coincide com a EDO fornecida.

Resposta

Sim, a relação é uma solução geral da EDO , porque ao diferenciar a relação e simplificar, obtemos a mesma equação diferencial apresentada.

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