Verificar quais são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
S=(x, y, 2) / y=x+2 e z=0

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid y = x+2,; z=0
e pede para verificar se ele é subespaço de R^3 nas operações usuais.
Para isso, usamos o critério: um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço se e somente se
  1. 0=(0,0,0)in W,
  2. para quaisquer u,vin W vale u+vin W,
  3. para qualquer alphainR e uin W vale alphauin W.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. Se 0=(0,0,0) estivesse em S, teríamos de satisfazer y=x+2, ou seja
0 stackrel?= 0 + 2,
o que é falso. Logo
0notin S
Isso já mostra que S não é subespaço de R^3.

Passo 3

Mesmo sem o zero, podemos apontar falha no fechamento sob adição. Tome
u=(x1,x1+2,0)in S e v=(x2,x2+2,0)in S. Então
u+v =(x1+x2,;(x1+2)+(x2+2),;0) =(x1+x2,;x1+x2+4,;0)
Para estar em S deveria valer y'=(x1+x2)+2, mas aqui y'=x1+x2+4neq (x1+x2)+2. Assim u+vnotin S.

Passo 4

Verificamos também que não há fechamento sob multiplicação por escalar. Se u=(x,x+2,0)in S e alphainR, então
alphau = (alpha x,;alpha(x+2),;0) =(alpha x,;alpha x + 2alpha,;0)
Para pertencer a S precisaríamos y''=(alpha x)+2, mas aqui y''=alpha x+2alphaneq alpha x+2 sempre que alphaneq1. Logo alphaunotin S.

Resposta

S não é subespaço de R^3 (nem contém o vetor zero, nem é fechado sob adição ou multiplicação por escalar).

Exercícios relacionados