Verificar quais são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificar se ele é subespaço de
nas operações usuais.
Para isso, usamos o critério: um subconjunto é subespaço se e somente se
Para isso, usamos o critério: um subconjunto
-
, - para quaisquer
vale , - para qualquer
e vale .
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero. Se
estivesse em
, teríamos de satisfazer
, ou seja
o que é falso. Logo
Isso já mostra que
não é subespaço de
.
Passo 3
Mesmo sem o zero, podemos apontar falha no fechamento sob adição. Tome
e
. Então
Para estar em
deveria valer
, mas aqui
. Assim
.
Passo 4
Verificamos também que não há fechamento sob multiplicação por escalar. Se
e
, então
Para pertencer a
precisaríamos
, mas aqui
sempre que
. Logo
.