Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
i) S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 0 & -6\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = \left\{\,A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]0 & 2\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt]0 & 3\end{pmatrix},\; C=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt]1 & -2\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt]0 & -6\end{pmatrix}\right\}
no espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}). Queremos checar se esses quatro vetores (matrizes) são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, vamos montar a combinação linear genérica
\alpha A + \beta B + \gamma C + \delta D = 0
e ver se existe solução não trivial.]

Passo 2

Escrevendo
\alpha A + \beta B + \gamma C + \delta D = \begin{pmatrix} \alpha\cdot1 + \beta\cdot2 & 0 \\[4pt] \gamma\cdot1 & \alpha\cdot2 + \beta\cdot3 + \gamma\cdot(-2) + \delta\cdot(-6) \end{pmatrix},
exigimos que essa soma seja a matriz zero.]

Passo 3

Igualando cada entrada a zero, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] \gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta -2\gamma -6\delta = 0. \end{cases}]

Passo 4

Da segunda equação vem \gamma=0.
Da primeira, \alpha = -2\beta. Substituindo na terceira:
2(-2\beta) + 3\beta -6\delta = 0 \;\Longrightarrow\; -4\beta+3\beta -6\delta=0 \;\Longrightarrow\; -\beta = 6\delta \;\Longrightarrow\; \beta = -6\delta,
de onde \alpha = -2(-6\delta)=12\delta.
Há, portanto, uma família de soluções não triviais
(\alpha,\beta,\gamma,\delta) = (12\delta,\,-6\delta,\,0,\,\delta),
por exemplo escolhendo \delta=1
12A \;-\;6B \;+\;0\cdot C \;+\;1\cdot D \;=\;0.

Passo 5

Como encontramos solução não trivial para
\alpha A + \beta B + \gamma C + \delta D = 0, isso mostra que S é linearmente dependente.

Resposta

Os vetores de S são linearmente dependentes (LD).

Exercícios relacionados