Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
h) u=\left[\begin{array}{cc}5 & 3 \\\\ 4 & 2\end{array}\right], v=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 1 & 3\end{array}\right], w=\left[\begin{array}{cc}-2 & 6 \\\\ 3 & -9\end{array}\right] e z=\left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M_{2\times2}(\mathbb{R}):
u=\begin{pmatrix}5 & 3\\\ 4 & 2\end{pmatrix},\; v=\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 1 & 3\end{pmatrix},\; w=\begin{pmatrix}-2 & 6\\\ 3 & -9\end{pmatrix},\; z=\begin{pmatrix}2 & -5\\\ 3 & 1\end{pmatrix},
e pede para verificar se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso, precisamos estudar a combinação
a\,u + b\,v + c\,w + d\,z = 0_{2\times2}
e ver se há apenas a solução trivial a=b=c=d=0.

Passo 2

Vamos identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 seguindo a ordenação “linha a linha”:
u\mapsto (5,3,4,2),\quad v\mapsto (2,-3,1,3),\quad w\mapsto (-2,6,3,-9),\quad z\mapsto (2,-5,3,1).

Passo 3

Escrevendo a\,u+b\,v+c\,w+d\,z=0 elemento a elemento, obtemos o sistema
\begin{cases} 5a + 2b -2c +2d = 0,\\\\ 3a -3b +6c -5d = 0,\\\\ 4a + b +3c +3d = 0,\\\\ 2a +3b -9c + d = 0. \end{cases}

Passo 4

Aplicando eliminação de Gauss e escalonando, chegamos às duas últimas equações não triviais em c e d:
\frac{125}{7}\,c + \frac{80}{7}\,d = 0, \qquad -\frac{155}{7}\,c - \frac{320}{21}\,d = 0.
Da primeira vem
\displaystyle c=-\frac{16}{25}d,
e da segunda
\displaystyle c=-\frac{64}{93}d.
Para que os dois sejam compatíveis, é preciso d=0. Substituindo de volta, obtém-se c=0, depois b=0 e finalmente a=0.

Passo 5

Como a única solução é a=b=c=d=0, concluímos que não há combinação não trivial que zere as matrizes.

Resposta

Os vetores (matrizes) são linearmente independentes (LI).

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