Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
j) M=\left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -3 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\\\ -1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}-2 & 3 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O conjunto M está em \mathsf{M}_{2\times2}(\mathbb{R}), que é um espaço vetorial de dimensão 4. Para verificar se quatro matrizes são linearmente independentes, basta representá-las como vetores em \mathbb{R}^4 e checar se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial.

Passo 2

Associamos a cada matriz
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o vetor (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4. Assim, as matrizes de M viram:
v_{1}=(1,1,-3,2),\quad v_{2}=(0,2,-1,1),\quad v_{3}=(4,1,2,0),\quad v_{4}=(-2,3,-1,1).
Formamos a matriz 4\times4 cujas colunas são esses vetores:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & -2\\\\ 1 & 2 & 1 & 3\\\\ -3 & -1 & 2 & -1\\\\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para obter uma forma escalonada. Por exemplo:
  1. R_2\gets R_2 - R_1,\;R_3\gets R_3+3R_1,\;R_4\gets R_4-2R_1
    resulta em
    \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & -2\\\\ 0 & 2 & -3 & 5\\\\ 0 & -1 & 14 & -7\\\\ 0 & 1 & -8 & 5 \end{pmatrix}.
  2. R_3\gets R_3+\tfrac12R_2,\;R_4\gets R_4-\tfrac12R_2
    resulta em
    \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & -2\\\\ 0 & 2 & -3 & 5\\\\ 0 & 0 & \tfrac{25}{2} & -\tfrac{9}{2}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{13}{2} & \tfrac{5}{2} \end{pmatrix}.
  3. Finalmente, R_4\gets R_4 + \tfrac{13}{25}\,R_3
    \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & -2\\\\ 0 & 2 & -3 & 5\\\\ 0 & 0 & \tfrac{25}{2} & -\tfrac{9}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{4}{25} \end{pmatrix}.

Passo 4

Na forma escalonada vemos que todos os quatro pivôs são não nulos. Logo \rank(A)=4, ou seja, os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 são linearmente independentes.

Resposta

As matrizes de M são linearmente independentes (LI).

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