Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
m) T=\left\{2 x^{2}-x+4,-x^{2}+2 x-1,3 x+2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios
T = \{\,2x^{2}-x+4,\;-x^{2}+2x-1,\;3x+2\}
é linearmente independente ou dependente. Vamos usar o conceito de combinação linear: se existir uma combinação não trivial que dê o polinômio zero, então são linearmente dependentes; caso contrário, são independentes.

Passo 2

Formamos a combinação linear nula: sejam \displaystyle a,b,c escalares tais que
a\,(2x^{2}-x+4)\;+\;b\,(-x^{2}+2x-1)\;+\;c\,(3x+2)\;=\;0,
onde 0 é o polinômio nulo em x.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^{2}, x e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a - b + 0\cdot c = 0,\\\\ -\,a + 2b + 3c = 0,\\\\ 4a - b + 2c = 0. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem
b = 2a.
Substituindo em -a + 2b + 3c = 0
-\,a + 2(2a) + 3c = 0 \;\Longrightarrow\; 3a + 3c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -\,a.
A terceira equação torna-se
4a - (2a) + 2(-a) = 0 \;\Longrightarrow\;0 = 0,
logo é redundante. Temos infinitas soluções (a, b, c) = (a, 2a, -a) com a\neq0.

Passo 5

Como existe solução não trivial (a,b,c)\neq(0,0,0) que anula a combinação, concluímos que os polinômios de T são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto T é linearmente dependente.

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