Verifique que w_{x y}=w_{y x}.
w=x y^{4}-2 x^{2} y^{3}+4 x^{2}-3 y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que \,w_{xy}=w_{yx}\,. A função dada é
w = x y^{4} - 2 x^{2} y^{3} + 4 x^{2} - 3 y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função w depende de duas variáveis independentes \,x e \,y.
  • Deve-se calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas \,w_{xy} (primeiro em x, depois em y) e \,w_{yx} (primeiro em y, depois em x), e mostrar que são iguais.

Passo 2

Relembrando regras úteis (didática passo a passo):
  • Definição prática: ao calcular a derivada parcial de w em relação a \,x (denotada \,w_x), trata-se \,y como constante; ao derivar em relação a \,y (denotada \,w_y), trata-se \,x como constante.
  • Regra do fator constante: se há um fator constante multiplicando uma função, ele sai da derivada: por exemplo \dfrac{\partial}{\partial x}\!\big(a\cdot f(x)\big)=a\cdot \dfrac{\partial f}{\partial x} com a constante (pode ser y quando derivamos em x).
  • Regra da potência (caso monômio): \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}. Para derivada parcial a mesma regra vale na variável com respeito à qual se deriva, tratando as outras como constantes.
    Exemplo rápido e concreto: se f(x,y)=3 x^{2} y^{3}, então
f_x = 3\cdot 2 x^{1} y^{3}=6 x y^{3}, \qquad f_y = 3 x^{2}\cdot 3 y^{2}=9 x^{2} y^{2}.
Isso mostra como aplicar potência e tratar a outra variável como constante.

Passo 3

Calcular \,w_x (derivada parcial de w em relação a \,x); derivar cada termo tratando \,y como constante:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{4}\big) &= y^{4},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\big(-2 x^{2} y^{3}\big) &= -2\cdot 2 x^{1} y^{3} = -4 x y^{3},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\big(4 x^{2}\big) &= 4\cdot 2 x = 8 x,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\big(-3 y\big) &= 0 \quad(\text{pois }y\text{ é tratado como constante}). \end{aligned}é
Logo
w_x = y^{4} - 4 x y^{3} + 8 x.]

Passo 4

Calcular \,w_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(w_x). Agora derivamos w_x em relação a \,y, tratando \,x como constante:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\big(y^{4}\big) &= 4 y^{3},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\big(-4 x y^{3}\big) &= -4 x \cdot 3 y^{2} = -12 x y^{2},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\big(8 x\big) &= 0 \quad(\text{pois }x\text{ é constante em relação a }y). \end{aligned}éçã
Portanto
w_{xy} = 4 y^{3} - 12 x y^{2}.]

Passo 5

Calcular \,w_y (derivada parcial de w em relação a \,y); derivar cada termo tratando \,x como constante:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{4}\big) &= x\cdot 4 y^{3} = 4 x y^{3},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\big(-2 x^{2} y^{3}\big) &= -2 x^{2}\cdot 3 y^{2} = -6 x^{2} y^{2},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\big(4 x^{2}\big) &= 0,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\big(-3 y\big) &= -3. \end{aligned}
Logo
w_y = 4 x y^{3} - 6 x^{2} y^{2} - 3.]

Passo 6

Calcular \,w_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(w_y). Agora derivamos w_y em relação a \,x, tratando \,y como constante:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\big(4 x y^{3}\big) &= 4 y^{3},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\big(-6 x^{2} y^{2}\big) &= -6\cdot 2 x\, y^{2} = -12 x y^{2},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\big(-3\big) &= 0. \end{aligned}
Portanto
w_{yx} = 4 y^{3} - 12 x y^{2}.]

Passo 7

Comparando os resultados obtidos:
w_{xy} = 4 y^{3} - 12 x y^{2} \qquad\text{e}\qquad w_{yx} = 4 y^{3} - 12 x y^{2}.
Logo \,w_{xy}=w_{yx}. Comentário didático final: isso era esperado para funções cujas segundas derivadas parciais são contínuas (teorema de Clairaut / Schwarz), mas aqui verificamos diretamente pela conta.

Resposta

w_{xy}=w_{yx}=4 y^{3}-12 x y^{2}

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