Verifique que
.
w=x y^{4}-2 x^{2} y^{3}+4 x^{2}-3 y
w=x y^{4}-2 x^{2} y^{3}+4 x^{2}-3 y
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função
depende de duas variáveis independentes e . - Deve-se calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas
(primeiro em , depois em ) e (primeiro em , depois em ), e mostrar que são iguais.
Passo 2
Relembrando regras úteis (didática passo a passo):
- Definição prática: ao calcular a derivada parcial de
em relação a (denotada ), trata-se como constante; ao derivar em relação a (denotada ), trata-se como constante. - Regra do fator constante: se há um fator constante multiplicando uma função, ele sai da derivada: por exemplo
com constante (pode ser quando derivamos em ). - Regra da potência (caso monômio):
. Para derivada parcial a mesma regra vale na variável com respeito à qual se deriva, tratando as outras como constantes.
Exemplo rápido e concreto: se, então
Isso mostra como aplicar potência e tratar a outra variável como constante.
Passo 3
Calcular
(derivada parcial de
em relação a
); derivar cada termo tratando
como constante:
Logo
Passo 4
Calcular
. Agora derivamos
em relação a
, tratando
como constante:
Portanto
Passo 5
Calcular
(derivada parcial de
em relação a
); derivar cada termo tratando
como constante:
Logo
Passo 6
Calcular
. Agora derivamos
em relação a
, tratando
como constante:
Portanto
Passo 7
Comparando os resultados obtidos:
Logo
. Comentário didático final: isso era esperado para funções cujas segundas derivadas parciais são contínuas (teorema de Clairaut / Schwarz), mas aqui verificamos diretamente pela conta.