25 Se
, ache
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para achar
. Ou seja, o que é pedido é a derivada parcial de terceira ordem obtida aplicando sucessivamente as diferenciações indicadas pelos subscritos (primeiro em
, depois em
e por fim em
— a convenção que vamos usar aqui é a de ler os subscritos da esquerda para a direita).
Informações fornecidas:
- A função
depende das variáveis , e . - Quer-se uma derivada parcial de terceira ordem indicada por
.
Passo 2
Rápida revisão do que vamos usar (regras e ideias):
- Derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
- Regras básicas:
- Regra da potência:
(quando se deriva em ). - Regra do produto:
.
- Regra da potência:
- Aplicaremos essas regras termo a termo, lembrando que
e são tratados como constantes quando diferenciamos em , e e são tratados como constantes quando diferenciamos em , etc.
Vou seguir exatamente a ordem indicada por
: primeiro calcular
, em seguida
desse resultado, e por fim
do que obtivermos.
Passo 3
Calcular a primeira parcial em
:
Deriva-se termo a termo, tratando e
como constantes.
Deriva-se termo a termo, tratando
Para o primeiro termo
:
Para o segundo termo
:
Para o terceiro termo
, que não contém
:
Somando,
Passo 4
Agora calculamos a parcial em
de
, ou seja
.
Para
: aqui
e
são constantes ao derivar em
. Usando a regra da potência,
Para
:
é constante, então
Somando,
Passo 5
Finalmente, diferenciamos
em relação a
para obter
.
No termo
: ao derivar em
,
e
são constantes, então
No termo
: não depende de
, então sua derivada em
é
.
Portanto,