25 Se w=3 x^{2} y^{3} z+2 x y^{4} z^{2}-y z, ache w_{x y x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
w=3x^{2}y^{3}z+2xy^{4}z^{2}-yz
e pede para achar w_{x y x}. Ou seja, o que é pedido é a derivada parcial de terceira ordem obtida aplicando sucessivamente as diferenciações indicadas pelos subscritos (primeiro em x, depois em y e por fim em x — a convenção que vamos usar aqui é a de ler os subscritos da esquerda para a direita).
Informações fornecidas:
  • A função w depende das variáveis x, y e z.
  • Quer-se uma derivada parcial de terceira ordem indicada por w_{x y x}.

Passo 2

Rápida revisão do que vamos usar (regras e ideias):
  • Derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
  • Regras básicas:
    • Regra da potência: \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1} (quando se deriva em x).
    • Regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Aplicaremos essas regras termo a termo, lembrando que y e z são tratados como constantes quando diferenciamos em x, e x e z são tratados como constantes quando diferenciamos em y, etc.
Vou seguir exatamente a ordem indicada por w_{x y x}: primeiro calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}, em seguida \dfrac{\partial}{\partial y} desse resultado, e por fim \dfrac{\partial}{\partial x} do que obtivermos.

Passo 3

Calcular a primeira parcial em x:
Deriva-se termo a termo, tratando y e z como constantes.
Para o primeiro termo 3x^{2}y^{3}z:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{3}z\bigr) =3\cdot(2x)\cdot y^{3}z =6x y^{3} z.
Para o segundo termo 2xy^{4}z^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy^{4}z^{2}\bigr) =2\cdot 1 \cdot y^{4}z^{2} =2 y^{4} z^{2}.
Para o terceiro termo -yz, que não contém x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-yz\bigr)=0.
Somando,
w_{x}=6x y^{3} z + 2 y^{4} z^{2}.

Passo 4

Agora calculamos a parcial em y de w_{x}, ou seja w_{x y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(w_{x}\bigr).
Para 6x y^{3} z: aqui x e z são constantes ao derivar em y. Usando a regra da potência,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x y^{3} z\bigr) =6x z \cdot \frac{d}{dy}\bigl(y^{3}\bigr) =6x z \cdot 3y^{2} =18 x y^{2} z.
Para 2 y^{4} z^{2}: z é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 y^{4} z^{2}\bigr) =2 z^{2} \cdot \frac{d}{dy}\bigl(y^{4}\bigr) =2 z^{2} \cdot 4 y^{3} =8 y^{3} z^{2}.
Somando,
w_{x y}=18 x y^{2} z + 8 y^{3} z^{2}.

Passo 5

Finalmente, diferenciamos w_{x y} em relação a x para obter w_{x y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(w_{x y}\bigr).
No termo 18 x y^{2} z: ao derivar em x, y e z são constantes, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(18 x y^{2} z\bigr) =18 y^{2} z \cdot \frac{d}{dx}(x) =18 y^{2} z.
No termo 8 y^{3} z^{2}: não depende de x, então sua derivada em x é 0.
Portanto,
w_{x y x}=18 y^{2} z.

Resposta

18 y^{2} z

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