Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam u, v e w vetores. Então podemos concluir que
( ) Se u // v então u e v possuem o mesmo sentido.

Passo 1

O enunciado dá: sejam u, v e w vetores. Pede-se verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
\text{Se } u\\ //\\ v \text{ então } u \text{ e } v \text{ possuem o mesmo sentido.}ã
Informações relevantes dadas:
  • u e v são vetores quaisquer.
  • O símbolo “ //” indica que u é paralelo a v.
    A tarefa é decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar plenamente a resposta.

Passo 2

Definição prática de “paralelos” (o conceito que vamos usar). Dizemos que dois vetores u e v são paralelos quando existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
u=\lambda v.
Explicando: isso significa que u é um múltiplo escalar de v. Aqui:
  • u e v são vetores;
  • \lambda é um número real (positivo, negativo ou zero);
  • se existiu tal \lambda, escrevemos u//v.
O que significa “mesmo sentido” para vetores? Intuitivamente, dois vetores têm o mesmo sentido quando apontam exatamente na mesma direção e no mesmo sentido da reta (não um no sentido oposto). Em termos do escalar \lambda da definição:
  • se \lambda>0 então u e v têm o mesmo sentido (apontam na mesma direção);
  • se \lambda<0 então u e v são colineares mas têm sentidos opostos;
  • se \lambda=0 então u é o vetor nulo 0, que é paralelo a qualquer vetor segundo a definição, mas o vetor nulo não tem sentido bem definido.

Passo 3

A partir da definição, analisar a implicação da afirmação. A hipótese u//v garante apenas que existe \lambda\in\mathbb{R} com u=\lambda v. A afirmação original exige que, sempre que isso ocorre, u e v tenham o mesmo sentido — o que corresponderia a exigir que necessariamente \lambda>0 para todo caso. Mas a definição permite \lambda negativo ou zero, então a hipótese não força \lambda>0. Logo, logicamente, a afirmação é duvidosa: pode ser verdadeira em alguns casos ( \lambda>0) e falsa em outros ( \lambda<0 ou \lambda=0).

Passo 4

Dar exemplos concretos (contraexemplo) para mostrar que a afirmação é falsa. Escolha vetores simples em \mathbb{R}^2:
  • Tome u=(1,0) e v=(-1,0). Então
u = (-1)\,v,
ou seja, existe \lambda=-1 tal que u=\lambda v. Portanto u//v. Mas u e v apontam em sentidos opostos (um para a direita, outro para a esquerda). Logo não possuem o mesmo sentido. Esse é um contraexemplo que basta para concluir que a afirmação não vale sempre.
Outro exemplo útil: tome u=(0,0) (vetor nulo) e v=(1,0). Tem-se u=0\cdot v, logo u//v segundo a definição, mas o vetor nulo não tem sentido definido; portanto a afirmação “possuem o mesmo sentido” também falha neste caso.

Passo 5

Conclusão e explicação final: a relação u//v (paralelismo) significa u=\lambda v para algum \lambda\in\mathbb{R}. Só quando esse \lambda é estritamente positivo é que u e v têm o mesmo sentido. Como podem ocorrer \lambda<0 ou \lambda=0, a afirmação “Se u//v então u e v possuem o mesmo sentido” não é verdadeira em geral.

Resposta

F

Exercícios relacionados