Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam
e
vetores. Então podemos concluir que
( ) Se
então
e
possuem o mesmo sentido.
( ) Se
Passo 1
O enunciado dá: sejam
,
e
vetores. Pede-se verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
Informações relevantes dadas:
-
e são vetores quaisquer. - O símbolo “
” indica que é paralelo a .
A tarefa é decidir se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar plenamente a resposta.
Passo 2
Definição prática de “paralelos” (o conceito que vamos usar). Dizemos que dois vetores
e
são paralelos quando existe um escalar
tal que
Explicando: isso significa que
é um múltiplo escalar de
. Aqui:
-
e são vetores; -
é um número real (positivo, negativo ou zero); - se existiu tal
, escrevemos .
O que significa “mesmo sentido” para vetores? Intuitivamente, dois vetores têm o mesmo sentido quando apontam exatamente na mesma direção e no mesmo sentido da reta (não um no sentido oposto). Em termos do escalar
da definição:
- se
então e têm o mesmo sentido (apontam na mesma direção); - se
então e são colineares mas têm sentidos opostos; - se
então é o vetor nulo , que é paralelo a qualquer vetor segundo a definição, mas o vetor nulo não tem sentido bem definido.
Passo 3
A partir da definição, analisar a implicação da afirmação. A hipótese
garante apenas que existe
com
. A afirmação original exige que, sempre que isso ocorre,
e
tenham o mesmo sentido — o que corresponderia a exigir que necessariamente
para todo caso. Mas a definição permite
negativo ou zero, então a hipótese não força
. Logo, logicamente, a afirmação é duvidosa: pode ser verdadeira em alguns casos (
) e falsa em outros (
ou
).
Passo 4
Dar exemplos concretos (contraexemplo) para mostrar que a afirmação é falsa. Escolha vetores simples em
:
- Tome
e . Então
ou seja, existe
tal que
. Portanto
. Mas
e
apontam em sentidos opostos (um para a direita, outro para a esquerda). Logo não possuem o mesmo sentido. Esse é um contraexemplo que basta para concluir que a afirmação não vale sempre.
Outro exemplo útil: tome (vetor nulo) e
. Tem-se
, logo
segundo a definição, mas o vetor nulo não tem sentido definido; portanto a afirmação “possuem o mesmo sentido” também falha neste caso.
Outro exemplo útil: tome
Passo 5
Conclusão e explicação final: a relação
(paralelismo) significa
para algum
. Só quando esse
é estritamente positivo é que
e
têm o mesmo sentido. Como podem ocorrer
ou
, a afirmação “Se
então
e
possuem o mesmo sentido” não é verdadeira em geral.
Resposta
F