Encontre a forma escalonada dos seguintes sistemas lineares sobre \mathbb{C}\) e determine seu conjunto solução.
\(\begin{cases}3 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+5 x_{4}= & 0 \\\\ 5 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}= & 0\end{cases}
Passo 1
O sistema fornecido é (peguei as equações do enunciado):
Encontrar a forma escalonada (isto é, a matriz escalonada obtida pelo método de eliminação por linhas);
Determinar o conjunto solução (todos os vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{C}^{4} que satisfazem o sistema).
Informações relevantes dadas:
São duas equações lineares homogêneas com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
O lado direito de ambas as equações é 0, então o sistema é homogêneo (sempre contém a solução trivial).]
Passo 2
Vou escrever o sistema na forma de matriz aumentada (coeficientes + coluna de termos independentes). Como o sistema é homogêneo, a coluna aumentada é toda zero:
Explicando rapidamente o que vou fazer (aula rápida sobre eliminação):
Para obter a forma escalonada uso operações elementares sobre linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo é zerar entradas abaixo dos pivôs (entradas líderes) coluna por coluna, obtendo uma matriz em que cada linha não-nula tem mais zeros à esquerda que a anterior.
Como o sistema é homogêneo, a coluna de zeros permanece nula em todos os passos.
Passo 4
Primeira operação: usar o primeiro elemento 3 (linha 1, coluna 1) como pivô e zerar a entrada correspondente na linha 2. Faço
Essa já está em forma escalonada (cada linha não-nula tem um pivô mais à direita que a linha acima). Se quiser, pode-se prosseguir para a forma escalonada reduzida (RREF) zerando acima dos pivôs.]
Passo 6
Opcionalmente, obtenho a forma escalonada reduzida (mais útil para encontrar explicitamente as incógnitas pivô em função das livres). Vou zerar o elemento 2 que está acima do pivô da segunda coluna usando
Interpretação da forma final e identificação de variáveis livres/pivôs:
A primeira linha corresponde à equação \;x_{1}+7x_{3}-17x_{4}=0.
A segunda linha corresponde à equação \;x_{2}-11x_{3}+28x_{4}=0.
As colunas com pivôs são as colunas 1 e 2, portanto x_{1} e x_{2} são variáveis pivô (determinar-se-ão em função das outras).
As colunas 3 e 4 não têm pivôs, então x_{3} e x_{4} são variáveis livres. Como estamos sobre \mathbb{C}, essas variáveis livres podem assumir qualquer valor em \mathbb{C}.
Passo 8
Parametrização da solução (aula prática sobre como escrever a solução):
Ponha \;x_{3}=s,\;x_{4}=t com s,t\in\mathbb{C} (parâmetros).
Da segunda equação: \;x_{2}-11x_{3}+28x_{4}=0\Rightarrow x_{2}=11s-28t.
Da primeira equação: \;x_{1}+7x_{3}-17x_{4}=0\Rightarrow x_{1}=-7s+17t.