Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam u, v e w vetores. Então podemos concluir que
( ) Se u=\overrightarrow{0} então u+v+w=v+w.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} e pede para verificar a veracidade da afirmação:
\text{Se }\mathbf{u}=\overrightarrow{0}\text{ então }\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{v}+\mathbf{w}.ã
Lista clara do que foi dado:
  • Dados: os vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.
  • Hipótese a testar: \mathbf{u}=\overrightarrow{0}.
  • Afirmação a provar (ou refutar): \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{v}+\mathbf{w}.

Passo 2

Vamos lembrar as propriedades básicas de adição de vetores que usaremos (explicadas de forma suave):
  • Identidade aditiva (vetor nulo): existe um vetor chamado vetor nulo, denotado \overrightarrow{0}, tal que para qualquer vetor \mathbf{x} vale
\overrightarrow{0}+\mathbf{x}=\mathbf{x}\quad\text{e}\quad \mathbf{x}+\overrightarrow{0}=\mathbf{x}.
Isto significa que somar o zero não muda o vetor — é como somar zero em números.
  • Associatividade da adição: para quaisquer vetores \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z},
(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z}).
Isso permite mudar a forma de agrupar somas sem alterar o resultado.
  • Comutatividade da adição: para quaisquer vetores \mathbf{x},\mathbf{y},
\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}.
Isso permite trocar a ordem dos termos se quisermos (não será necessário aqui, mas é bom lembrar).
Exemplo concreto rápido para fixar: em \mathbb{R}^2, \overrightarrow{0}=(0,0). Então
(0,0)+(1,2)+(3,4)=(1,2)+(3,4)=(4,6),
o que ilustra a propriedade.

Passo 3

Agora aplicamos essas propriedades ao problema passo a passo, de forma que você possa reproduzir na prova:
Começamos com a expressão dada:
\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}.
Pela hipótese temos \mathbf{u}=\overrightarrow{0}. Substituindo isso na soma:
\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=\overrightarrow{0}+\mathbf{v}+\mathbf{w}.
Usando associatividade podemos reescrever (agrupando os dois primeiros termos):
\overrightarrow{0}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=(\overrightarrow{0}+\mathbf{v})+\mathbf{w}.
Pela propriedade de identidade aditiva sabemos que \overrightarrow{0}+\mathbf{v}=\mathbf{v}. Substituindo:
(\overrightarrow{0}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{v}+\mathbf{w}.
Portanto chegamos exatamente à igualdade desejada:
\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{v}+\mathbf{w}.

Passo 4

Comentário final e motivação: a razão essencial é que o vetor nulo não altera somas, então sempre que um dos termos de uma soma vetorial for o \overrightarrow{0} ele pode ser “removido” da soma. Isso é direto e costuma cair em exercícios básicos sobre propriedades de vetores — se baterem dúvida, basta substituir e aplicar associatividade + identidade aditiva.

Resposta

V

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