Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam
e
vetores. Então podemos concluir que
( ) Se
então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado fornece três vetores
e pede para verificar a veracidade da afirmação:
Lista clara do que foi dado:
- Dados: os vetores
. - Hipótese a testar:
. - Afirmação a provar (ou refutar):
.
Passo 2
Vamos lembrar as propriedades básicas de adição de vetores que usaremos (explicadas de forma suave):
- Identidade aditiva (vetor nulo): existe um vetor chamado vetor nulo, denotado
, tal que para qualquer vetor vale
Isto significa que somar o zero não muda o vetor — é como somar zero em números.
- Associatividade da adição: para quaisquer vetores
,
Isso permite mudar a forma de agrupar somas sem alterar o resultado.
- Comutatividade da adição: para quaisquer vetores
,
Isso permite trocar a ordem dos termos se quisermos (não será necessário aqui, mas é bom lembrar).
Exemplo concreto rápido para fixar: em
,
. Então
o que ilustra a propriedade.
Passo 3
Agora aplicamos essas propriedades ao problema passo a passo, de forma que você possa reproduzir na prova:
Começamos com a expressão dada:
Pela hipótese temos
. Substituindo isso na soma:
Usando associatividade podemos reescrever (agrupando os dois primeiros termos):
Pela propriedade de identidade aditiva sabemos que
. Substituindo:
Portanto chegamos exatamente à igualdade desejada:
Passo 4
Comentário final e motivação: a razão essencial é que o vetor nulo não altera somas, então sempre que um dos termos de uma soma vetorial for o
ele pode ser “removido” da soma. Isso é direto e costuma cair em exercícios básicos sobre propriedades de vetores — se baterem dúvida, basta substituir e aplicar associatividade + identidade aditiva.
Resposta
V