Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam u, v e w vetores. Então podemos concluir que
( ) Se v+w=v+u então w=u.

Passo 1

O enunciado dá três vetores u, v e w e pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, com justificativa:
\text{Se } v+w=v+u \text{ então } w=u.ã
Informações relevantes fornecidas:
  • u, v e w são vetores (portanto sujeitos às propriedades da adição vetorial).
  • A igualdade v+w=v+u é verdadeira para esses vetores (é a hipótese).
O que se pede: decidir se a conclusão w=u segue da hipótese e justificar passo a passo.

Passo 2

Recordando propriedades básicas da adição de vetores (coisa que vale em qualquer espaço vetorial ou, mais geralmente, em qualquer grupo abeliano):
  • Existe um vetor nulo 0 tal que, para todo vetor x, vale 0+x=x.
  • Para todo vetor x existe um inverso aditivo, denotado -x, tal que x+(-x)=0.
  • A adição é associativa: para quaisquer vetores a,b,c vale (a+b)+c=a+(b+c).
  • A adição é comutativa: a+b=b+a.
Essas propriedades permitem a operação de “cortar” o mesmo vetor de ambos os lados de uma igualdade, adicionando o inverso aditivo.

Passo 3

Começamos a prova a partir da hipótese. Suponha que
v+w=v+u.
A técnica padrão é adicionar o inverso aditivo de v, isto é -v, aos dois lados da igualdade. Como a igualdade entre vetores permite operar ambos os lados da mesma forma, temos:
(-v)+(v+w)=(-v)+(v+u).
Aqui foi aplicado o fato de que se A=B então C+A=C+B para qualquer vetor C (tomando C=-v).

Passo 4

Agora usamos associatividade da adição para agrupar convenientemente os termos. Reescrevendo ambos os lados:
((-v)+v)+w = ((-v)+v)+u.
Pelo definício de inverso aditivo, (-v)+v=0. Substituindo:
0+w = 0+u.

Passo 5

Usando a propriedade do vetor nulo, 0+x=x para qualquer vetor x, obtemos
w = u.
Portanto, a conclusão segue logicamente da hipótese.

Passo 6

Interpretação e exemplo concreto (para fixar a ideia): se v=(1,2), u=(3,4) e supuséssemos que existe w tal que v+w=v+u, então somando o inverso de v aos dois lados obtemos w=u. Ou seja, não existe nenhum outro w diferente de u que satisfaça v+w=v+u.

Passo 7

Conclusão lógica: a propriedade de cancelamento vale porque a adição vetorial admite inversos e existe o elemento neutro; portanto a afirmação dada é verdadeira.

Resposta

V

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