Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam
e
vetores. Então podemos concluir que
( ) Se
então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado dá três vetores
,
e
e pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, com justificativa:
Informações relevantes fornecidas:
-
, e são vetores (portanto sujeitos às propriedades da adição vetorial). - A igualdade
é verdadeira para esses vetores (é a hipótese).
O que se pede: decidir se a conclusão
segue da hipótese e justificar passo a passo.
Passo 2
Recordando propriedades básicas da adição de vetores (coisa que vale em qualquer espaço vetorial ou, mais geralmente, em qualquer grupo abeliano):
- Existe um vetor nulo
tal que, para todo vetor , vale . - Para todo vetor
existe um inverso aditivo, denotado , tal que . - A adição é associativa: para quaisquer vetores
vale . - A adição é comutativa:
.
Essas propriedades permitem a operação de “cortar” o mesmo vetor de ambos os lados de uma igualdade, adicionando o inverso aditivo.
Passo 3
Começamos a prova a partir da hipótese. Suponha que
A técnica padrão é adicionar o inverso aditivo de
, isto é
, aos dois lados da igualdade. Como a igualdade entre vetores permite operar ambos os lados da mesma forma, temos:
Aqui foi aplicado o fato de que se
então
para qualquer vetor
(tomando
).
Passo 4
Agora usamos associatividade da adição para agrupar convenientemente os termos. Reescrevendo ambos os lados:
Pelo definício de inverso aditivo,
. Substituindo:
Passo 5
Usando a propriedade do vetor nulo,
para qualquer vetor
, obtemos
Portanto, a conclusão segue logicamente da hipótese.
Passo 6
Interpretação e exemplo concreto (para fixar a ideia): se
,
e supuséssemos que existe
tal que
, então somando o inverso de
aos dois lados obtemos
. Ou seja, não existe nenhum outro
diferente de
que satisfaça
.
Passo 7
Conclusão lógica: a propriedade de cancelamento vale porque a adição vetorial admite inversos e existe o elemento neutro; portanto a afirmação dada é verdadeira.
Resposta
V